Mathematik verstehen 5, Schulbuch

223 11 . 3 DaRstEllUNg DER MUlt Ipl Ikat ION EINEs vEktORs mI t EINER REEllEN ZaHl 11 . 3 DaRstEllUNg DER MUltIplIkatION EINEs vEktORs mIt EINER REEllEN ZaHl Streckung eines Pfeils 11 . 30 Gegeben ist der Vektor ​ ​ _ À a​= (2 1 1). 1) Berechne die Vektoren 3· ​ ​ _ À a​und – 2· ​ ​ _ À a​! 2) Stelle die Vektoren ​ ​ _ À a​, 3· ​ ​ _ À a​und – 2· ​ ​ _ À a​als Pfeile vom Punkt P = (5 1 3) aus dar! 3) Beschreibe, wie man den zu 3· ​ ​ _ À a​gehörigen Pfeil aus dem zu ​ ​ _ À a​gehörigen Pfeil erhält! 4) Beschreibe, wie man den zu –2· ​ ​ _ À a​gehörigen Pfeil aus dem zu ​ ​ _ À a​gehörigen Pfeil erhält! LösUNg: 1) 3· ​ ​ _ À a​= (6 1 3), – 2· ​ ​ _ À a​= (– 4 1 – 2) 2) Siehe nebenstehende Abbildung! 3) Der zu ​ ​ _ À a​gehörige Pfeil wird von P aus auf das Dreifache in Richtung von​ ​ _ À a​gestreckt. 4) Der zu ​ ​ _ À a​gehörige Pfeil wird von P aus auf das Zweifache in Gegenrichtung von ​ ​ _ À a​gestreckt. In nebenstehender Abbildung sagt man: Der grüne Pfeil geht aus dem schwarzen Pfeil ƒƒ durch Streckung mit dem Faktor r > 0 hervor, wenn der grüne Pfeil die r-fache Länge des schwarzen Pfeils hat und zu diesem gleich gerichtet ist, ƒƒ durch Streckung mit dem Faktor r < 0 hervor, wenn der grüne Pfeil die † r † -fache Länge des schwarzen Pfeils hat und zu diesem entgegengesetzt gerichtet ist, ƒƒ durch Streckung mit dem Faktor r = 0 hervor, wenn der grüne Pfeil der Nullpfeil ist. Man kann allgemein begründen: Wird ein vom Nullvektor verschiedener Vektor aus ​ R ​ 2 ​durch einen Pfeil dargestellt, dann ent- spricht der Multiplikation dieses vektors mit einer reellen Zahl r eine Streckung des Pfeils mit dem Faktor r. AUFgabEN 11 . 31 Übertrage die Vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​, ​ ​ _ À c​in das Heft und veranschauliche die folgenden Vektoren durch Pfeile! a) 4​ ​ _ À a​, – 3​ ​ _ À a​, 2​ ​ _ À b​, – 2​ ​ _ À b​, 3​ ​ _ À c​, – 2​ ​ _ À c​ b) ​ 1 _ 2 ​​ ​ _ À a​, – ​ 5 _ 2 ​​ ​ _ À a​, ​ 1 _ 2 ​​ ​ _ À b​, – ​ 3 _ 2 ​​ ​ _ À b​, ​ 3 _ 2 ​​ ​ _ À c​, – ​ 3 _ 2 ​​ ​ _ À c​ c) 2​ ​ _ À a​+ ​ ​ _ À b​, ​ 1 _ 2 ​​ ​ _ À b​– 2​ ​ _ À c​, 3​ ​ _ À a​+ 2​ ​ _ À c​, 4​ ​ _ À a​+ ​ 1 _ 2 ​​ ​ _ À b​, ​ ​ _ À b​+ ​ 3 _ 2 ​​ ​ _ À c​ d) 2​ ​ _ À a​– 3​ ​ _ À b​+ 2​ ​ _ À c​, – 2​ ​ _ À a​+ ​ 1 _ 2 ​​ ​ _ À b​– ​ ​ _ À c​, 3​ ​ _ À a​+ ​ 1 _ 2 ​(​ ​ _ À b​+ ​ ​ _ À c​), ​ 1 _ 2 ​(​ ​ _ À a​+ ​ ​ _ À b​) – 2​ ​ _ À c​ R Ó Applet zt23pr 1. A. 2. A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 P 0 – 2·a 3·a a a r·a a a r·a o r > 0 r < 0 r = 0 R a b c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv