Mathematik verstehen 5, Schulbuch

217 11 .1 DaRstEllUNg vON vEktOREN IN R 2 als PUNktE ODER PFEI lE IN DER EBENE Berechnung eines vektors aus Anfangs- und Endpunkt Gegeben sind die Punkte A = (a 1 1 a 2 ) und B = (b 1 1 b 2 ). Aus der nebenstehenden Abbildung liest man ab: _ À AB= 2 b 1 – a 1 b 2 – a 2   3 Daraus folgt weiter: _ À AB= 2 b 1 b 2   3 – 2 a 1 a 2   3 = B – A Man kann zeigen, dass dies für alle möglichen Lagen der Punkte A und B gilt. Aufgrund dieser Überlegung können wir das Symbol _ À AB ohne Benutzung von Geometrie in folgender Weise definieren: Definition Für alle A, B * R 2 setzen wir: _ À AB= B – A Merke „vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt“ Mit dieser Definition ergibt sich: _ À AB= B – A = – (A – B) = – _ À BA. Somit erhält man: Satz Für alle A, B * R 2 gilt: _ À AB= – _ À BA AUFgabEN 11 . 06 Berechne den Vektor _ À AB! Veranschauliche ihn durch einen Pfeil von A nach B und durch zwei weitere Pfeile! a) A = (2 1 1), B = (6 1 7) d) A = (– 6 1 4), B = (5 1 0) g) A = (2 1 4), B = (–1 1 – 2) b) A = (3 1 – 4), B = (7 1 2) e) A = (2 1 –1), B = (– 4 1 5) h) A = O, B = (– 5 1 – 5) c) A = (–5 1 3), B = (4 1 – 3) f) A = (4 1 0), B = (– 5 1 5) i) A = (1,7 1 2,1), B = O 11 . 07 Gegeben ist das Dreieck ABC. Berechne die „Seitenvektoren“ _ À AB, _ À BC, _ À CA! a) A = (– 2 1 –1), B = (5 1 1), C = (1 1 7) d) A = (0 1 7), B = (2 1 –7), C = (6 1 0) b) A = (– 3 1 – 4), B = (6 1 –1), C = (0 1 8) e) A = (– 9 1 –11), B = (– 2 1 – 5), C = (– 4 1 –1) c) A = (–5 1 0), B = (4 1 3), C = (5 1 9) f) A = (– 4 1 3,5), B = (– 0,5 1 1), C = (– 5 1 9,5) 11 . 08 Gegeben ist das Fünfeck ABCDE. Berechne die „Seitenvektoren“ _ À AB, _ À BC, _ À CD, _ À DE, _ À EAund die „Diagonalvektoren“ _ À AC, _ À AD, _ À BD, _ À BE, _ À CE! a) A = (– 3 1 0), B = (5 1 0), C = (7 1 4), D = (0 1 8), E = (– 5 1 3) b) A = (– 5 1 – 2), B = (–1 1 – 6), C = (4 1 – 2), D = (4 1 2), E = (–1 1 5) c) A = (– 3 1 0), B = (0 1 – 5), C = (6 1 – 2), D = (7 1 3), E = (–1 1 6) 11 . 09 Wer hat in dem folgenden Zwiegespräch Recht? Begründe! Nina: „In dem nebenstehenden Parallelogramm gilt _ À AD= _ À BC.“ Felix: „Unmöglich! Wie können verschiedene Pfeile einander gleich sein?“ LösUNg: Nina hat Recht. _ À ADund _ À BCsind dasselbe Zahlenpaar, nur wird dieses durch verschiedene Pfeile geometrisch dargestellt. R kompakt Seite 232 2. A. 1. A. a 2 a 1 b 2 b 1 A B AB BA A B R A B C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv