Mathematik verstehen 5, Schulbuch

215 11 .1 DaRstEllUNg vON vEktOREN IN R 2 als PUNktE ODER PFEI lE IN DER EBENE In Abb. 11.1 ist der Vektor (3 1 2) durch verschiedene Pfeile in der Ebene dargestellt. Da die Anfangspunkte dieser Pfeile beliebig gewählt werden dürfen, kann man den Vektor (3 1 2) durch unendlich viele Pfeile in der Ebene darstellen. Alle diese Pfeile sind aber gleich lang, parallel und gleich gerichtet . Dabei ist zu beachten, dass parallele Pfeile gleich oder entgegenge- setzt gerichtet sein können (siehe Abb. 11.2). In Abb. 11.3 sind die Zahlenpaare (4 1 –5), (–3 1 2) und (–2 1 –4) durch Pfeile in der Ebene dargestellt. Abb. 11.1 Abb. 11.2 Abb. 11.3 Einen Sonderfall bildet der Nullvektor (0 1 0) . Bei der Punktdarstellung entspricht er dem Null- punkt (Ursprung) O des Koordinatensystems. Will man den Nullvektor als Pfeil in der Ebene darstellen, bewegt man sich von einem beliebigen Anfangspunkt aus um 0 nach rechts und anschließend um 0 nach oben, dh. man bewegt sich gar nicht. Dabei fällt der Endpunkt des Pfeils mit dem Anfangspunkt zusammen. Man sagt auch: Der Pfeil entartet zu einem Punkt. Diesen Punkt wollen wir als einen Grenzfall eines Pfeils ansehen und als Nullpfeil bezeichnen. Er hat die Länge 0, man kann ihm aber keine Richtung zuschreiben. Zusammenfassend lässt sich festhalten: Jedem vektor aus ℝ 2 entspricht genau ein Punkt der Ebene . Umgekehrt entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein vektor aus ℝ 2 . Jedem vektor aus ℝ 2 entsprechen unendlich viele Pfeile der Ebene , die alle gleich lang und (vom Nullvektor abgesehen) auch parallel und gleich gerichtet sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil der Ebene genau ein vektor aus ℝ 2 . Bezeichnung von vektoren Vektoren bezeichnen wir entsprechend ihrer geometrischen Deutung: Wird ein vektor als Punkt gedeutet, so bezeichnen wir ihn mit einem Großbuchstaben, zB A , B , C , … Wird ein vektor als Pfeil gedeutet, so bezeichnen wir ihn mit _ À a , _ À b , _ À c , … [Lies: a Pfeil, b Pfeil, c Pfeil …] Insbesondere: Wird der Nullvektor (0 1 0) als Punkt (Ursprung des Koordinatensystems) gedeutet, bezeichnen wir ihn mit dem Buchstaben O . Wird der Nullvektor (0 1 0) als Nullpfeil gedeutet, bezeichnen wir ihn mit _ À o [lies: o(h) Pfeil]. Wird ein vektor aus R 2 als Pfeil vom Punkt A zum Punkt B gedeutet, bezeichnen wir ihn auch mit _ À AB [lies: A B Pfeil]. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2. A. 1. A. gleich gerichtete Pfeile entgegengesetzt gerichtete Pfeile 2. A. 1. A. 2 – 3 4 –5 – 4 – 2 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv