Mathematik verstehen 5, Schulbuch

208 10 vEktOREN 10 . 43 Jemand kauft im Mai und Juni jeweils größere Mengen zweier Waren. Die Stückzahlen der ersten bzw. zweiten Ware sind jeweils durch einen Stückzahlvektor gegeben. Mai: Stückzahlvektor S 1 = (50 1 47), Gesamtpreis G 1 = 288€ Juni: Stückzahlvektor S 2 = (100 1 28), Gesamtpreis G 2 = 312€ Der vektor P = (p 1 1 p 2 ) gebe die Stückpreise für die erste bzw. zweite Ware an. 1) Welche Beziehung besteht zwischen S 1 , P und G 1 , welche zwischen S 2 , P und G 2 ? 2) Berechne den vektor P! 10 . 44 Eine Firma erzeugt zwei Waren in zwei aufeinanderfolgenden halbjahren. 1. halbjahr: Stückzahlvektor S 1 = (18 1 21), Gesamtproduktionskosten K 1 = 48600€ 2. halbjahr: Stückzahlvektor S 2 = (14 1 15), Gesamtproduktionskosten K 2 = 36200€ Was gibt der vektor P in den Gleichungen S 1 · P = K 1 und S 2 · P = K 2 an? Berechne P! Rechengesetze für das Skalarprodukt Das skalare Produkt von vektoren kann als eine verallgemeinerung des gewöhnlichen Produkts reeller Zahlen angesehen werden. Fasst man nämlich eine reelle Zahl als ein Element der Menge R 1 auf, also als einen vektor mit nur einer Koordinate, dann entspricht das Skalarprodukt dem gewöhnlichen Produkt reeller Zahlen: (a 1 ) · (b 1 ) = a 1 · b 1 Für das Skalarprodukt von vektoren gelten auch ähnliche Rechengesetze wie für das Produkt reeller Zahlen. Im folgenden Satz sind drei grundlegende Gesetze angeführt, von denen wir eines exemplarisch beweisen. Satz Für alle A, B, C * R 2 und alle r * R gilt: (SP1) A · B = B · A (Kommutativgesetz) (SP2) (A + B) · C = A · C + B · C (Distributivgesetz) (SP3) (r · A) · B = r · (A · B) (Quasiassoziativgesetz) BEWEIs vON (SP 2) : Sei A = ( a 1 a 2   ) , B = ( b 1 b 2   ) , C = ( c 1 c 2   ) . Unter Benutzung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen erhalten wir: (A + B) · C = 2 ( a 1 a 2   ) + ( b 1 b 2   ) 3 · ( c 1 c 2   ) = ( a 1 + b 1 a 2 + b 2   ) · ( c 1 c 2   ) = = (a 1 + b 1 ) · c 1 + (a 2 + b 2 ) · c 2 = a 1 · c 1 + b 1 · c 1 + a 2 · c 2 + b 2 · c 2 = = (a 1 · c 1 + a 2 · c 2 ) + (b 1 · c 1 + b 2 · c 2 ) = ( a 1 a 2   ) · ( c 1 c 2   ) + ( b 1 b 2   ) · ( c 1 c 2   ) = A · C + B · C  Aus den drei Grundgesetzen ( SP1 ), ( SP2 ), ( SP3 ) kann man weitere Rechengesetze für das Skalarprodukt herleiten, ohne Koordinaten einführen zu müssen. Wir führen im folgenden Satz einige an und beweisen eines davon exemplarisch. Zur Abkürzung setzen wir: A 2 = A · A Satz Für alle A, B, C, D * R 2 und alle r, s * R gilt: (1) A · (B + C) = A · B + A · C (4) (r · A) · (s · B) = (r · s) · (A · B) (2) A · (B – C) = A · B – A · C (5) (A + B) 2 = A 2 + 2 · (A · B) + B 2 (3) (r · A) · B = A · (r · B) = r · (A · B) (6) (A – B) 2 = A 2 – 2 · (A · B) + B 2 BEWEIs vON ( 1 ) : A · (B + C) = (SP1) (B + C) · A = (SP2) B · A + C · A = (SP1) A · B + A · C  R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv