Mathematik verstehen 5, Schulbuch

206 10 vEktOREN 10 . 3 SkAlARPROdUkt vON vEktOREN Definition des Skalarprodukts 10 . 29 1) Eine Firma kauft a Nägel zu b€ pro Stück. Stelle eine Formel für die Gesamtkosten G auf! 2) Die Firma kauft a 1 Nägel zu b 1 € pro Stück und a 2 Schrauben zu b 2 € pro Stück. Stelle eine Formel für die Gesamtkosten G auf! LösUNg: 1) G = Stückzahl · Stückpreis = a · b 2) G = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 In dieser Aufgabe liegt es nahe, den Stückzahlvektor (a 1 1 a 2 ) und den Stückpreisvektor (b 1 1 b 2 ) einzuführen und analog zur Formel G = Stückzahl ·Stückpreis zu schreiben: G = Stückzahlvektor · Stückpreisvektor Diese Schreibweise ist aber zunächst sinnlos, weil wir ja noch kein Produkt von vektoren definiert haben. Setzen wir jedoch das Produkt dieser beiden vektoren gleich a 1 · b 1 + a 2 · b 2 , dann ist diese Schreibweise gerechtfertigt. Wir definieren also: Definition Es seien A, B * R 2 . Die reelle Zahl A · B = ( a 1 a 2 ) · ( b 1 b 2   ) = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 heißt skalares Produkt bzw. Skalarprodukt der vektoren A und B. BEACHtE : Das skalare Produkt zweier vektoren ist kein vektor, sondern eine reelle Zahl (ein Skalar ). Das ist auch der Grund dafür, warum man dieses Produkt als „skalares Produkt“ oder „Skalarprodukt“ bezeichnet. AUFgAbEN 10 . 30 Berechne A · B! a) A = (3 1 1), B = (– 2 1 – 6) d) A = (–1 1 1), B = (1 1 –1) g) A = 2 3 _ 4 1 2 _ 5 3 B = 2 4 _ 3 1 5 _ 2 3 b) A = (4 1 4), B = (3 1 – 2) e) A = (6 1 – 4), B = (10 1 11) h) A = 2 1 _ 2 1 3 _ 5 3 , B = 2 1 _ 3 1 1 _ 2 3 c) A = (3 1 0), B = (0 1 4) f) A = (28 1 16), B = (13 1 – 50) i) A = 2 0 1 7 _ 8 3 , B = 2 5 _ 9 1 0 3 10 . 31 A = (– 3 1 5), B = (7 1 2), C = (1 1 – 2), D = (4 1 0). Berechne: a) A · B + C · D c) A · C + B · D e) 2 · (A · B) – 3 · (C · D) g) A · B + 15 b) A · B – C · D d) A · C – B · D f) 3 · (A · C) + 2 · (B · D) h) 3 · (C · D) – 10 10 . 32 A = (a 1 1 4), B = (3 1 –1) und A · B = 17. Ermittle a 1 ! 10 . 33 A = (2 1 3) und A · B = 5. Gib zwei Möglichkeiten für B an! 10 . 34 A = (3 1 – 2), B = (1 1 4). Bestimme den vektor X * R 2 so, dass gilt: a) A · X = 8 und B · X = – 2 b) A · X = 29 und B · X = – 9 10 . 35 Gib fünf vektoren aus R 2 an, die Lösungen der Gleichung X · X = 25 sind! Gib zwei vektoren aus R 2 an, die keine Lösung dieser Gleichung sind! R R kompakt Seite 209 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv