Mathematik verstehen 5, Schulbuch

204 10 vEktOREN 10 .19 Eine Autofabrik erzeugt zwei verschiedene Autotypen. Die monatliche Produktion für die beiden Autotypen beträgt p 1 Stück bzw. p 2 Stück. Infolge schlechter Auftragslage wird die Produktion um 15% eingeschränkt. Welche vektoren kann man betrachten? (Überlege geeignete Bezeich- nungen und Buchstaben!) Welche Beziehungen bestehen zwischen diesen vektoren? 10 . 20 Eine kleine Firma muss zwei Angestellte bezahlen. Der vektor, der die Monatsgehälter der beiden Angestellten angibt, sei G = (g 1 1 g 2 ). a) Wie lautet der vektor, der die monatlichen Gehälter angibt, wenn beide um 50€ pro Monat mehr als bisher verdienen? b) Wie lautet der vektor, der die monatlichen Gehälter angibt, wenn beide eine Gehalts- erhöhung von 2% erhalten? 10 . 21 In einem Gymnasium gibt es zwei fünfte Klassen. Es sei S = (s 1 1 s 2 ) der vektor, der die Schüler- zahlen in der 5A bzw. 5B angibt. a) Wie lautet der vektor S‘, der die Schülerzahlen in den beiden Klassen angibt, wenn in der 5A zwei Schüler dazukommen und in der 5B einer weggeht? b) Wie lautet der vektor S‘‘, der die Schülerzahlen in den beiden Klassen angibt, wenn fünf Schüler von der 5A in die 5B wechseln? 10 . 22 Jedem Fernsprechanschluss einer Firma ist in der vermittlungsstelle ein Zählwerk zugeordnet, das bei einem Gespräch im Orts- und Nahbereichsverkehr (Entfernung bis 25km) alle 72 s einen Gebührenimpuls erhält. Somit entsprechen 50 Gebührenimpulse einer Gebührenstunde. Ein Gebührenimpuls kostet 0,06€. Für zwei bestimmte Telefone, die nur für den Orts- und Nahbereichsverkehr verwendet werden, beträgt die Grundgebühr je g Euro und es werden s 1 bzw. s 2 Gebührenstunden telefoniert. 1) Schreibe einen Grundgebührenvektor G und einen Gebührenstundenvektor S an! 2) Der vektor I * R 2 gebe die auf den beiden Telefonen verbrauchten Gebührenimpulse an, der vektor T * R 2 die Telefonrechnungsbeträge für diese beiden Telefone. Drücke S durch I aus! Drücke T durch G und S aus! Drücke T durch G und I aus! Rechengesetze für vektoren 10 . 23 Gegeben sind die vektoren A = ( 1 3  ) und B = ( 4 1  ) . Berechne 2 · (B + A) – (A + 2 · B)! LösUNg: 2 · (B + A) – (A + 2 · B) = 2 · 4 ( 4 1  ) + ( 1 3  ) 5 – 4 ( 1 3  ) + 2 · ( 4 1  ) 5 = = 2 · ( 5 4  ) – 4 ( 1 3  ) + ( 8 2  ) 5 = ( 10 8  ) – ( 9 5  ) = ( 1 3  ) Durch algebraische Umformungen hätten wir diese Aufgabe einfacher lösen können: 2 · (B + A) – (A + 2 · B) = 2 · B + 2 · A – A – 2 · B = A = ( 1 3  ) Derartige Umformungen sind aber nur erlaubt, wenn für vektoren Rechengesetze gelten, die analog zu den Rechengesetzen für reelle Zahlen sind und uns daher gestatten, mit vektoren ähnlich wie mit reellen Zahlen zu rechnen. Dass derartige Rechengesetze gelten, kann man sich folgendermaßen überlegen. Jede Rechnung mit vektoren aus R 2 kann in zwei gewöhnliche Rechnungen mit reellen Zahlen zerlegt werden, nämlich in eine Rechnung mit den ersten Koordi- naten und eine Rechnung mit den zweiten Koordinaten. Man könnte diese beiden Rechnungen getrennt voneinander aufschreiben. Einfacher ist es jedoch, wenn man beide Rechnungen zu R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv