Mathematik verstehen 5, Schulbuch

192 9 L INEARE GlEICHUNgEN UND GlEICHUNgSSyStEME IN ZWEI vARIABlEN 9 . 23 Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! ​ { ​ x + 2y = 5 2x + 4y = 10 ​ ​ GRAf ISCHE LöSUNg: Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar. I. x + 2y = 5 É y = – ​ 1 _ 2 ​x + ​ 5 _ 2 ​ II. 2x + 4y = 10 É y = – ​ 1 _ 2 ​x + ​ 5 _ 2 ​ Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung k und gleiches d. Sie sind somit parallel und zusammenfal- lend . Wir stellen sie im Koordinatensystem dar. Jeder Punkt auf dieser Geraden entspricht einer Lösung. Somit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen . RECHNERISCHE LöSUNg: Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode. I. x + 2y = 5 ! · (– 2) ] + II. 2x + 4y = 10 0 = 0 (wahre Aussage!) Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung erfüllt, erfüllt auch die zweite Gleichung. Das Gleichungssystem besitzt daher unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist: L = {(x 1 y) * ​ℝ ​ 2 ​ ‡ x + 2y = 5} . In den letzten drei Aufgaben haben wir jeweils die im Gleichungssystem aufgetretenen Gleichungen als Geraden interpretiert. Allgemein lässt sich sagen, dass zwei Geraden in der Ebene nur die folgenden gegenseitigen Lagen einnehmen können: Die Geraden schneiden Die Geraden sind parallel Die Geraden sind parallel und einander und besitzen und verschieden und ident und besitzen genau einen Schnittpunkt. besitzen keinen Schnittpunkt. unendlich viele Schnittpunkte. Das Gleichungssystem hat Das Gleichungssystem hat Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. keine Lösung. unendlich viele Lösungen Damit ergibt sich: Satz Ein lineares Gleichungssystem in zwei variablen hat keine Lösung , genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen , wobei die zugehörigen Punkte auf einer Geraden liegen. 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y – 1 I = II kompakt Seite 196 S I II I II u u I = II Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv