Mathematik verstehen 5, Schulbuch

191 9 . 2 L INEARE GlEICHUNgSSyStEME IN ZWEI vARIABlEN Grafische Lösung und Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme 9 . 21 Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! ​ { ​ x + 2y = 5 – x + y = 1 ​ ​ ​ GRAf ISCHE LöSUNg: Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar: I. x + 2y = 5 É y = – ​ 1 _ 2 ​x + ​ 5 _ 2 ​ II. – x + y = 1 É y = x + 1 Da die beiden Geraden verschiedene Steigungen besitzen, müssen sie einander schneiden . Wir stellen diese im selben Koordinatensystem dar. Dies geht oft schnell, wenn man die Schnittpunkte mit den Achsen ermittelt. Der Schnittpunkt S ist der einzige Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Das ihm entsprechende Zahlenpaar (1 1 2) ist somit die einzige Lösung des Gleichungssystems. RECHNERISCHE LöSUNg: Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode. I. x + 2y = 5 ] + II. – x + y = 1 y = 2, x = 1 Lösung: (1 1 2) 9 . 22 Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! ​ { ​ x + 2y = 5 2x + 4y = 3 ​ ​ GRAf ISCHE LöSUNg: Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar: I. x + 2y = 5 É y = – ​ 1 _ 2 ​x + ​ 5 _ 2 ​ II. 2x + 4y = 3 É y = – ​ 1 _ 2 ​x + ​ 3 _ 4 ​ Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung k, aber verschiedenes d. Sie sind somit parallel, aber nicht zusammenfallend . Wir stellen sie im Koordinaten­ system dar. Es gibt keinen Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung . RECHNERISCHE LöSUNg: Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode. I. x + 2y = 5 ! · (– 2) ] + II. 2x + 4y = 3 0 = –7 (falsche Aussage!) Es gibt kein Zahlenpaar (x 1 y), das beide Gleichungen erfüllt. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist leer: L = { } . R S 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y – 1 I II 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y – 1 I II Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv