Mathematik verstehen 5, Schulbuch

190 9 L INEARE GlEICHUNgEN UND GlEICHUNgSSyStEME IN ZWEI vARIABlEN 9 . 2 LINEARE GlEICHUNgSSyStEME IN ZWEI vARIABlEN Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme Definition Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei variablen (bzw. Unbekannten ) hat die Form: { a 1 · x + a 2 · y = a 0 b 1 · x + b 2 · y = b 0 (a 1 , a 2 , a 0 * R , a 1 und a 2 nicht beide 0) (b 1 , b 2 , b 0 * R , b 1 und b 2 nicht beide 0) Ein Zahlenpaar (x 1 y) heißt Lösung des Gleichungssystems , wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen. Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode): Aus einer Gleichung wird eine Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Der erhaltene Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt. I. x + 2y = 8 w x = 8 – 2y II. 3x + y = 9 In II einsetzen: 3(8 – 2y) + y = 9 w y = 3 x = 8 – 2 · 3 = 2 Lösung: (2 1 3) Probe: I. 2 + 2 · 3 = 8 II. 3 · 2 + 3 = 9 Eliminationsmethode (Additionsmethode): Man multipliziert die Gleichungen mit geeigneten Zahlen, sodass beim Addieren der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. I. x + 2y = 8 ! · (– 3) II. 3x + y = 9 I. – 3x – 6y = –24 ] + II. 3x + y = 9 – 5y = –15 w y = 3 In II einsetzen: 3x + 3 = 9 w x = 2 Lösung: (2 1 3) Komparationsmethode (Gleichsetzungsmethode): Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Anschließend werden die erhaltenen Ausdrücke gleichgesetzt. I. x + 2y = 8 w x = 8 – 2y II. 3x + y = 9 w x = 3 – 1 _ 3 y Gleichsetzen: 8 – 2y = 3 – 1 _ 3 y w y = 3 Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert: x = 2 Lösung: (2 1 3) R kompakt Seite 196 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv