Mathematik verstehen 5, Schulbuch

187 9 .1 L INEARE GlEICHUNgEN IN ZWEI vARIABlEN 2) Wir fassen alle Lösungen der gegebenen Gleichung zu einer Lösungsmenge zusammen: L = { (x 1 y) * R 2 ‡ 4 · x + 5 · y = 20 } = { (x 1 y) * R 2 ‡ y = – 4 _ 5 · x + 4 } Dies ist der Graph der linearen Funktion f mit f(x) = – 4 _ 5 · x + 4, also eine Gerade. Wie wir aufgrund der letzten Aufgabe vermuten, gilt allgemein: Satz Die Lösungsmenge einer Gleichung a· x + b· y = c (mit a, b, c * R ; a und b nicht beide 0) besteht aus allen Punkten (x 1 y) einer Geraden . BEWEIS : Wir unterscheiden zwei Fälle. 1. Fall: b ≠ 0 In diesem Fall ergibt sich aus der gegebenen Gleichung: y = – a _ b · x + c _ b . Also gilt: L = { (x 1 y) * R 2 ‡ a · x + b · y = c } = { (x 1 y) * R 2 ‡ y = – a _ b · x + c _ b } Dies ist der Graph einer linearen Funktion, also eine Gerade. 2. Fall: b = 0 In diesem Fall ist a ≠ 0 und aus der gegebenen Gleichung ergibt sich x = c _ a . Somit gilt: L = { (x 1 y) * R 2 ‡ x = c _ a ? y beliebi g } Auch dies ist eine Gerade, nämlich die Parallele zur 2. Achse durch den Punkt 2 c _ a 1 0 3 . (Diese Gerade ist allerdings nicht der Graph einer Funktion.)  Eine Gerade war bisher ein geometrisches Objekt. Der letzte Satz eröffnet aber eine Möglichkeit, den Begriff der Geraden algebraisch (ohne Rückgriff auf die Geometrie) zu definieren: Definition Unter einer Geraden g in ℝ 2 verstehen wir die Punktmenge g = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ a· x + b· y = c ? a und b nicht beide 0} Die Gleichung a· x + b· y = c bezeichnen wir kurz als Gleichung der Geraden g. Wie wir gesehen haben, kann man eine Gleichung einer Geraden auf zweifache Weise angeben: in impliziter Form : a · x + b · y = c BEISPIEl : 2 · x + 3 · y = 4 in expliziter Form : y = – a _ b · x + c _ b (b ≠ 0) BEISPIEl : y = – 2 _ 3 · x + 4 _ 3 Durch einfache Umformungen kann die explizite Form stets in eine implizite Form umgewandelt werden. Umgekehrt kann eine implizite Form nur dann in die explizite Form umgewandelt werden, wenn b ≠ 0 ist. 1 – – 1 2 2 3 4 5 6 x 0 1 – 1 2 3 4 5 y y x 0 c a kompakt Seite 196 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv