Mathematik verstehen 5, Schulbuch

172 8 NICHtl INEaRE FUNkt IONEN Weitere Proportionalitäten 8 . 38 Wenn ein Auto der Masse m mit der Geschwindigkeit v eine Kurve vom Radius r durchfährt, so gilt für die Fliehkraft: F = mv 2 _ r (F in Newton, m in Kilogramm, v in m/s). Wir nehmen an, dass ein 1 500 kg schweres Auto in eine Kurve mit dem Radius 50m fährt. 1) Die Funktion F: v ¦ F(v) ordnet jeder Geschwindigkeit v die Fliehkraft F(v) zu. Gib eine Funktionsgleichung dieser Funktion an und zeichne deren Graphen! 2) Zeige: Der doppelten Geschwindigkeit entspricht die vierfache Fliehkraft. 3) Ist die Fliehkraft zur Geschwindigkeit direkt oder indirekt proportional? Ist sie zum Quadrat der Geschwindigkeit direkt oder indirekt proportional? LösUNg: 1) F(v) = m· v 2 _ r = 1 500 · v 2 __ 50 = 30 · v 2 2) F(2 · v) = 30 · (2 · v) 2 = 30 · (4 · v 2 ) = 4 · (30 · v 2 ) = 4 · F(v) 3) Die Fliehkraft ist zur Geschwindigkeit weder direkt noch indirekt proportional, sie ist aber zum Quadrat der Geschwindigkeit direkt proportional (mit dem Proportionalitätsfaktor 30). Gilt f(x) = c · x 2 (mit c ≠ 0), sagt man: f(x) ist direkt proportional zum Quadrat von x . Die größtmögliche Definitionsmenge einer solchen Funktion ist ℝ . Bei praktischen Anwendun - gen wählt man aber fast immer ℝ 0 + oder eine Teilmenge von ℝ 0 + . 8 . 39 Es soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche und dem Volumen V = 100 hergestellt werden. Hat die Grundkante die Länge x, so hängt die Höhe h(x) des Quaders von x ab. 1) Gib eine Termdarstellung der Funktion h: x ¦ h(x) an und zeichne deren Graphen! 2) Zeige: Der doppelten Länge der Grundkante entspricht der vierte Teil der Quaderhöhe. 3) Ist h(x) zu x direkt oder indirekt proportional? Ist h(x) zum Quadrat von x direkt oder indirekt proportional? LösUNg: 1) x 2 ·h(x) = 100 w h(x) = 100 _ x 2 mit 0 < x < 10 Somit ist h: (0; 10) ¥ ℝ ‡ x ¦ 100 _ x 2 . 2) h(2· x) = 100 _ (2· x 2 ) = 1 _ 4 · 100 _ x 2 = 1 _ 4 ·h(x) 3) h(x) ist zu x weder direkt noch indirekt proportional, aber zum Quadrat von x indirekt proportional. Gilt f(x) = c _ x 2 (mit c ≠ 0), sagt man: f(x) ist indirekt proportional zum Quadrat von x . Die größtmögliche Definitionsmenge einer solchen Funktion ist ℝ *. Bei praktischen Anwendungen wählt man aber fast immer ℝ + oder eine Teilmenge von ℝ + . R 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 F(v) (in N) 0 10 20 30 40 50 v (in m/s) 60 h(x) x x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv