Mathematik verstehen 5, Schulbuch

170 8 NICHtl INEaRE FUNkt IONEN 8 . 3 INDIREktE PROpORtIONalItät UND wEItERE PROpORtIONalItätEN Indirekte Proportionalität 8 . 31 Es gibt unendlich viele Rechtecke mit dem Flächeninhalt 100. Hat eine Seite eines solchen Rechtecks die Länge x, so hängt die Länge der anderen Seite von x ab. Wir bezeichnen die Länge der anderen Seite mit f(x). a) Gib eine Termdarstellung der Funktion f: x ¦ f(x) an und zeichne deren Graphen! b) Wie verändert sich f(x), wenn x verdoppelt bzw. halbiert wird? LösUNg: a) x · f(x) = 100 w f(x) = 100 _ x (0 < x < 100) Der Graph der Funktion f: (0; 100) ¥ ℝ ‡ x ¦ f(x) ist ein Ast einer Hyperbel und ist nebenstehend dargestellt. b) Wenn x verdoppelt wird, wird f(x) halbiert, denn: f(2· x) = 100 _ 2· x = 1 _ 2 · 100 _ x = 1 _ 2 · f(x) Wenn x halbiert wird, wird f(x) verdoppelt, denn: f 2 x _ 2 3 = 100 _ x _ 2 = 2· 100 _ x = 2· f(x) In der letzten Aufgabe gilt: f(x) = 100 _ x . Man sagt: Die Seitenlänge f(x) ist zur Seitenläge x indirekt proportional. Allgemein definieren wir: Definition Gilt für eine reelle Funktion f: A ¥ R stets f(x) = c _ x (mit c ≠ 0, x ≠ 0), so sagt man, die Funktions- werte f(x) sind zu den Argumenten x indirekt proportional . Die Funktion f nennt man eine indirekte Proportionalitätsfunktion . Der größtmögliche Definitionsbereich einer indirekten Proportionalitätsfunktion ist R *, in der Praxis ist er aber meist R + oder eine Teilmenge von R + . Wie man an der Aufgabe 8.31 sieht, ist der Graph einer indirekten Proportionalitätsfunktion keine Gerade. Eine indirekte Proportionalität ist also kein linearer Zusammenhang . Satz (Eigenschaften einer indirekten Proportionalitätsfunktion) Ist f eine indirekte Proportionalitätsfunktion mit f(x) = c _ x (c ≠ 0, x ≠ 0), dann gilt: (1) f(a · x) = f(x) _ a (für a ≠ 0) Dem a-fachen Argument entspricht der a-te Teil des Funktionswertes. (2) c = f(1) Die Konstante c ist der Funktionswert an der Stelle 1. (3) f(x) · x = c Das Produkt aus Funktionswert und Argument ist konstant. BEwEIs : (1) f(a · x) = c _ a · x = 1 _ a · c _ x = 1 _ a · f(x) = f(x) _ a (2) f(1) = c _ 1 = c (3) f(x) · x = c _ x · x = c  R 100 x f(x) x f(x) f 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv