Mathematik verstehen 5, Schulbuch

167 8 . 2 WEI tERE NICHtl INEaRE FUNkt IONEN 8 . 2 WEItERE NICHtlINEaRE FUNktIONEN Funktionen der Form f(x) = c _ x BEIspIElE : f(x) = 1 _ x f(x) = – 2 _ x Funktionen der Form f(x) = c _ x mit c * ℝ * haben folgende Eigenschaften: Der größtmögliche Definitionsbereich von f ist ℝ *. An der Stelle 0 ist die Funktion nicht definiert, weil c _ 0 nicht definiert ist. Den Graphen von f bezeichnet man als Hyperbel . Der Graph geht durch den Punkt (1 1 c) und ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs, denn es gilt: f(– x) = c _ – x = – c _ x = – f(x) Wegen f(1) = c kann man c anhand der roten Strecken in den Abbildungen ermitteln. Strebt x gegen die Stelle 0, so strebt f(x) gegen + • bzw. – • (dh. f(x) wird beliebig groß bzw. klein). Eine solche Stelle bezeichnet man als Polstelle von f . Die Stelle 0 ist also eine Polstelle von f. Strebt x gegen + • bzw. – • , so strebt f(x) gegen 0 (dh. f(x) wird dem Betrag nach beliebig klein). Der Graph von f kommt den beiden Koordinatenachsen beliebig nahe, ohne diese jemals zu erreichen. Man sagt: Die Koordinatenachsen sind Asymptoten des Graphen von f . Oder: Der Graph von f nähert sich den Koordinatenachsen asymptotisch . Merke (Eigenschaften einer Funktion f mit f(x) = c _ x und c * ℝ *) größtmöglicher Definitionsbereich : ℝ * Polstelle : 0 Der Graph geht durch (1 1 c) und ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Die Koordinatenachsen sind Asymptoten des Graphen von f. ändert c das vorzeichen, wird der Graph an der 1. Achse gespiegelt . R x f(x) f c 1 2 3 4 5 6 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 x f(x) 1 2 3 4 5 6 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 f ! c ! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv