Mathematik verstehen 5, Schulbuch

164 8 NICHtl INEaRE FUNkt IONEN Quadratische Modelle Wird eine Situation durch eine quadratische Funktion f der Form f(x) = ax 2 + bx + c beschrieben, so sagt man, dass ein quadratisches Modell für die Situation erstellt wird. Man spricht von quad- ratischer Modellierung . In vielen Anwendungssituationen ist es zweckmäßig, das Koordinaten - system so zu wählen, dass der Graph von f symmetrisch zur 2. Achse ist, weil dann der Graph durch die einfache Funktionsgleichung f(x) = ax 2 + c beschrieben werden kann. Es gilt nämlich: Satz Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ist genau dann symmetrisch bezüglich der 2. Achse , wenn b = 0 ist. BEwEIs : Für alle x * ℝ + gilt: f(– x) = f(x) É a(– x) 2 + b(– x) + c = ax 2 + bx + c É –bx = bx É b = 0  AUfgabEN 8 .15 Ein Seil ist in den Punkten P = (– 2 1 3,76) und Q = (2 1 3,76) befestigt (Maße in m). Das Seil hängt so durch, dass sein tiefster Punkt 1m über dem Boden ist. Es sei h die Funktion, die jeder Stelle x * [–2; 2] die Höhe h(x) des Seils über dem Boden zuordnet (Maße in m). a) Warum erscheint es angemessen, h durch eine quadratische Funktion anzunähern? b) Die Funktion h kann näherungsweise durch eine Funktion _ h der Form _ h(x) = ax 2 + c mit a, c * ℝ * ersetzt werden. Ermittle a und c und gib eine Termdarstellung von _ han! c) Zeichne auch den Graphen von _ hin das Koordinatensystem ein und überprüfe damit, dass _ heine gute Näherung für h ist! 8 .16 Die Dachträger von Flugzeughangars haben oft die Gestalt von Parabeln. Beschreibe einen Dach - träger mit der Spannweite 100m und der Höhe 20m durch eine quadratische Funktion f der Form f(x) = a· x 2 + c mit a, c * ℝ *! Wähle dazu den Ursprung im Fußpunkt der größten Höhe! 8 .17 Eine einspurige Tordurchfahrt hat die Höhe 5m und die Bodenbreite 6m. Der Torbogen lässt sich durch eine quadratische Funktion f der Form f(x) = ax 2 + c mit a, c * ℝ * beschreiben, wenn der Ursprung im Fußpunkt der größten Höhe gewählt wird. In der EU dürfen Lastwägen höchstens 4m hoch und höchstens 2,55m breit sein. Kann jeder Lastwagen, der diesen Vorschriften genügt, die Tordurchfahrt passieren? R R x h(x) P Q 1 2 – 2 – 1 1 2 3 4 0 100 m 20 m 6 m 5 m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv