Mathematik verstehen 5, Schulbuch

160 8 NICHtl INEaRE FUNkt IONEN 8 . 07 Kreuze die Aussagen an, die auf eine Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q (mit p, q * ℝ ) zutreffen! Wenn f 2 – p _ 2 3 < 0, dann besitzt f keine Nullstelle.  Wenn f 2 – p _ 2 3 = 0, dann besitzt f genau eine Nullstelle.  Wenn f 2 – p _ 2 3 > 0, dann besitzt f genau zwei Nullstellen.  Wenn f 2 – p _ 2 3 ª 0, dann besitzt f mindestens eine Nullstelle.  Wenn der Scheitel im Ursprung liegt, dann besitzt f höchstens eine Nullstelle.  8 . 08 Kreuze die Aussagen an, die auf eine Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c (mit a, b, c * ℝ und a ≠ 0) zutreffen! Wenn a > 0 und f 2 – b _ 2a 3 > 0, dann besitzt f keine Nullstelle.  Wenn a < 0 und f 2 – b _ 2a 3 < 0, dann besitzt f mindestens eine Nullstelle.  Wenn a > 0 und f 2 – b _ 2a 3 < 0, dann besitzt f genau zwei Nullstellen.  Wenn a < 0 und f 2 – b _ 2a 3 > 0, dann besitzt f keine Nullstelle.  Wenn der Scheitel auf der 1. Achse liegt, dann besitzt f genau eine Nullstelle.  Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion Wir betrachten eine quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c und a ≠ 0. Hat die Funktion f die Nullstellen x 1 und x 2 , dann lässt sich die Funktionsgleichung nach dem Satz von Vieta so umformen: f(x) = ax 2 + bx + c = a· 2 x 2 + b _ a · x + c _ a 3 = a· (x – x 1 ) · (x – x 2 ) Die Darstellung f(x) = a· (x – x 1 ) · (x – x 2 ) bezeichnet man als Linearfaktordarstellung der quadratischen Funktion f . 8 . 09 Von einer quadratischen Funktion f kennt man die Nullstellen x 1 = 1 und x 2 = 3 und es ist f(2) = – 2. 1) Gib eine Funktionsgleichung von f in der Form f(x) = ax 2 + bx + c an! 2) Gib den Scheitel S der zugehörigen Parabel an! 3) Ermittle die Schnittpunkte der Parabel mit den Achsen! 4) Zeichne den Graphen von f! LösUNg: 1) Die Linearfaktordarstellung von f lautet: f(x) = a· (x – x 1 ) · (x – x 2 ) = a· (x – 1) · (x – 3) f(2) = a· (–1) = – 2 w a = 2 Somit gilt: f(x) = 2· (x – 1) · (x – 3) = 2x 2 – 8x + 6 2) S = 2 x 1 + x 2 _ 2 1 f 2 x 1 + x 2 _ 2 3 3 = (2 1 – 2) 3) Schnittpukte mit der 1. Achse: S 1 = (1 1 0), S 2 = (3 1 0) Schnittpunkt mit der 2. Achse: x = 0 w f(x) = 6 w S 3 = (0 1 6) 4) Graph: Siehe nebenstehende Abbildung! L kompakt Seite 179 x f(x) 1 2 3 4 5 6 – 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – 3 – 2 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv