Mathematik verstehen 5, Schulbuch

159 8 .1 QUaDRat IsCHE FUNkt IONEN Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Die Nullstellen einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c (mit a ≠ 0) sind identisch mit den Lösungen der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 . Man kann eine quadratische Gleichung somit (wenigstens näherungsweise) grafisch lösen , indem man den Graphen der dazugehörigen quadratischen Funktion zeichnet und die eventuell vorhandenen Nullstellen abliest. Dabei lassen sich auch die möglichen Lösungsfälle anschaulich demonstrieren. Wir gehen dazu von einer Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 (mit a ≠ 0) aus und bringen diese nötigenfalls zu - erst mittels Division durch a auf die Form: x 2 + px + q = 0 Der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q ist eine nach oben offene Parabel. Je nach Lage dieser Parabel gibt es genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle oder keine Nullstelle von f und somit genau zwei Lösungen, genau eine Lösung oder keine Lösung der Gleichung. Abb. 8.1 a Abb. 8.1 b Abb. 8.1 c Die 2. Koordinate von S lautet: f 2 – p _ 2 3 = p 2 _ 4 – p 2 _ 2 + q = – p 2 _ 4 + q = –D Somit gilt: S = 2 – p _ 2 1 –D 3 Ist D > 0 , dann liegt S unterhalb der 1. Achse und es gibt genau zwei Nullstellen von f (Abb. 8.1 a). Ist D = 0 , dann liegt S auf der 1. Achse und es gibt genau eine Nullstelle von f (Abb. 8.1 b). Ist D < 0 , dann liegt S oberhalb der 1. Achse und es gibt keine Nullstelle von f (Abb. 8.1 c). Man erkennt außerdem: Für positives D unterscheiden sich die beiden Nullstellen umso weniger, je kleiner D wird, bis sie schließlich für D = 0 zusammenfallen. AUfgabEN 8 . 06 Kreuze die quadratische Gleichung an, deren Lösungen die Nullstellen der abgebildeten quadratischen Funktion f sind! x 2 + x + 2 = 0  x 2 + x – 2 = 0  x 2 – x + 2 = 0  x 2 – x – 2 = 0  x 2 + 2x + 1 = 0  x 2 – 2x + 1 = 0  R – D S x 1 x 2 f(x) x f – D S f(x) x x 1 = x 2 f – D S f(x) x f R x f(x) 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv