Mathematik verstehen 5, Schulbuch

157 8 .1 QUaDRat IsCHE FUNkt IONEN 8 . 01 Lege eine Tabelle für einige Werte der quadratischen Funktion f an und zeichne den Graphen von f! Ermittle die Nullstellen von f und gib eine Gleichung der Symmetrieachse der Parabel an! a) f(x) = x 2 – 2x – 3 für x * [– 2; 4] b) f(x) = – x 2 + 4 für x * [– 3; 3] LösUNg: a) b) x – 2 –1 0 1 2 3 4 x – 3 – 2 –1 0 1 2 3 f(x) 5 0 – 3 – 4 – 3 0 5 f(x) – 5 0 3 4 3 0 – 5 nach oben offene Parabel nach unten offene Parabel Nullstellen: –1 und 3 Symmetrieachse: x = 1 Nullstellen: – 2 und 2 Symmetrieachse: x = 0 Satz (1) D er Graph einer Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c ist eine für a > 0 nach oben offene und für a < 0 nach unten offene Parabel mit dem Scheitel S = 2 – b _ 2a 1 f 2 – b _ 2a 3 3 . (2) D er Graph einer Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S = 2 – p _ 2 1 f 2 – p _ 2 3 3 . Ein Beweis für (1) findet sich im Anhang auf Seite 285. Die Behauptung (2) folgt aus (1) für a = 1, b = p und c = q. Merkhilfe für die 1. Koordinate von S Man lässt in der kleinen bzw. großen Lösungsformel für quadratische Gleichungen einfach den jeweiligen Wurzelausdruck weg. Man braucht sich nur die erste Koordinate des Scheitels zu merken, die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen der ersten Koordinate in die Funktionsgleichung. BEIspIEl : Für die auf der vorigen Seite abgebildete Funktion f mit f(x) = x 2 – 4x + 3 ist p = – 4 und q = 3. Der Graph von f ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel: S = (2 1 f(2)) = (2 1 –1) Weitere Möglichkeit der Scheitelberechnung An der nebenstehenden Abbildung erkennt man: Besitzt eine quadratische Funktion zwei Nullstellen x 1 und x 2 , dann liegt die erste Koordinate des Scheitels S genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen und ist somit der Mittelwert der beiden Nullstellen: S = 2 x 1 + x 2 _ 2 1 f 2 x 1 + x 2 _ 2 3 3 1 2 3 4 5 f(x) x 1 2 3 4 – 0 – 1 – 2 – 3 4 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 1 2 3 5 1 2 3 4 – 0 – 1 – 2 – 3 4 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 f(x) x 4 S x 1 x 2 f(x) x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv