Mathematik verstehen 5, Schulbuch

141 7. 4 DIREktE PROpORt IONal I tätsfUNkt IONEN Allgemein gilt: Satz (Eigenschaften einer direkten Proportionalitätsfunktion) Ist f eine direkte Proportionalitätsfunktion mit f(x) = k · x (k ≠ 0), dann gilt: (1) f(a · x) = a · f(x) Dem a-fachen Argument entspricht der a-fache Funktionswert. (2) f(x + y) = f(x) + f(y) Der Summe der Argumente entspricht die Summe der Funktionswerte. (3) k = f(1) Der Proportionalitätsfaktor ist der Funktionswert an der Stelle 1. (4) k = ​ f(x) _ x ​ (für x ≠ 0) Der Proportionalitätsfaktor ist gleich dem (konstanten) Verhältnis von Funktionswert und Argument. BEwEIs : (1) f(a · x) = k · (a · x) = a · (k · x) = a · f(x) (3) f(1) = k · 1 = k (2) f(x + y) = k · (x + y) = k · x + k · y = f(x) + f(y) (4) ​ f(x) _ x ​= ​ k · x _ x ​= k  BEacHtE : Aus f(x) = k · x (mit k ≠ 0) folgt x = ​ 1 _ k ​· f(x). Es gilt somit: Satz Sind die Funktionswerte zu den Argumenten direkt proportional, dann sind auch die Argumente zu den Funktionswerten direkt proportional (wobei der neue Proportionalitätsfaktor der Kehrwert des alten ist). Kurz: Die Funktionswerte und die Argumente sind zueinander direkt proportional . AUfgabEN 7. 42 Die Werte der Funktion f sind zu den Argumenten direkt proportional. Man kennt den Wert von f an einer von 0 verschiedenen Stelle. Gib eine Termdarstellung von f an, zeichne den Graphen von f und berechne f(3) sowie f(4,5)! a) f(1) = 0,4 b) f(2) = 8 c) f(10) = 15 d) f(3,4) = 10,2 e) f(56) = 100,8 7. 43 Der Preis P(x) von x Kilogramm einer Ware ist zur Warenmenge x direkt proportional. a) P(10) = 35. Berechne P(1), P(5) und P(45)! c) P(a) = b. Berechne P(1), P(2a) und P(10a)! b) P(20) = 86. Berechne P(1), P(25) und P(100)! d) P(c) = d. Berechne P(1), P(c + 1) und P(c – 1)! 7. 44 Der Preis eines Stoffes auf einem Stoffballen ist direkt proportional zur Länge des Stoffes. Gib aufgrund der folgenden Angabe eine Termdarstellung der Funktion P an, die jeder Stofflänge x den Preis P(x) des Stoffes zuordnet und berechne daraus die Preise von 1m, 5m und 9,4m Stoff! a) 2,6m Stoff kosten 84,24€. c) 6,3m Stoff kosten 288,54€. b) 5,5m Stoff kosten 222,75€. d) 8,9m Stoff kosten 216,27€. 7. 45 Zwischen dem Argument x und dem Funktionswert f(x) besteht der folgende Zusammenhang. Ist f(x) zu x direkt proportional? Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor an! a) f(x) = 6,5 · x b) f(x) = 0,8 · x c) f(x) = x : 0,7 d) x = ​ f(x) _ 100 ​ 7. 46 Die folgende Formel gilt für eine direkte Proportionalitätsfunktion f. Gilt sie auch für eine beliebige lineare Funktion f? Begründe! a) f(1) = k b) f(a · x) = a · f(x) c) f(x + y) = f(x) + f(y) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv