Mathematik verstehen 5, Schulbuch

140 7 L INEaRE FUNkt IONEN 7. 4 DIREktE PROpORtIONalItätsfUNktIONEN Direkte Proportionalität Im Folgenden wiederholen und erweitern wir das, was wir in der Unterstufe über direkte Proportionalität gelernt haben, in der „Funktionensprache“. 7. 40 Eine Ware kostet 5€ pro Kilogramm. Es sei P(x) der Preis von x kg dieser Ware. Stelle eine Formel für P(x) auf und zeichne den Graphen der Funktion P für 0 ª x ª 6! LösUNg: P(x) = 5 · x In der letzten Aufgabe war der Preis stets das Fünffache der Warenmenge. Man sagt: Der Preis ist zur Warenmenge direkt proportional . Allgemein definiert man: Definition Ist f eine reelle Funktion mit f(x) = k · x (mit k ≠ 0) , so sagt man: Die Funktionswerte f(x) sind zu den Argumenten x direkt proportional. Die Funktion f nennt man eine direkte Proportionalitätsfunktion . Die Konstante k heißt Proportionalitätsfaktor . Eigenschaften einer direkten Proportionalitätsfunktion 7. 41 Für den Preis P(x) von x kg einer Ware gelte: P(x) = 5 · x a) Zeige: Der doppelten, dreifachen, halben, a-fachen Warenmenge entspricht der doppelte, dreifache, halbe, a-fache Preis. b) Zeige: Der Summe zweier Warenmengen entspricht die Summe der Preise. c) Wie groß ist P(1)? Was bedeutet P(1)? d) Was lässt sich über den Quotienten ​ P(x) _ x ​aussagen? LösUNg: a) P(2 · x) = 5 · (2 · x) = 2 · (5 · x) = 2 · P(x) P ​ 2 ​ 1 _ 2 ​· x 3 ​= 5 · ​ 2 ​ 1 _ 2 ​· x 3 ​= ​ 1 _ 2 ​· (5 · x) = ​ 1 _ 2 ​· P(x) P(3 · x) = 5 · (3 · x) = 3 · (5 · x) = 3 · P(x) P(a · x) = 5 · (a · x) = a · (5 · x) = a · P(x) b) Sind x und y zwei Warenmengen, dann gilt: P(x + y) = 5 · (x + y) = 5 · x + 5 · y = P(x) + P(y) c) P(1) = 5 · 1 = 5. P(1) ist der Kilogrammpreis der Ware. d) ​ P(x) _ x ​= ​ 5 · x _ x ​= 5. Der Quotient ist konstant und gleich dem Kilogrammpreis 5. R 1 2 3 4 5 6 x 0 10 20 30 5 P(x) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv