Mathematik verstehen 5, Schulbuch

131 7. 2 EIgENscHaftEN l INEaRER FUNkt IONEN Deutungen der Steigung k Aus den Formeln (1) und (2 ) des letzten Satzes ergeben sich durch einfache Umformungen folgende Deutungen der Steigung k: (1) k = f(x + 1) – f(x) Die Steigung k ist gleich der änderung der Funktionswerte bei Erhöhung des Arguments um 1. (2) k = f(x + h) – f(x) __ h (h > 0) Die Steigung k ist gleich dem verhältnis der änderung der Funktionswerte zur änderung der Argumente. Setzt man x = x 1 und x + h = x 2 , so kann die Formel (2) auch so geschrieben werden: k = f(x + h) – f(x) __ h = f(x 2 ) – f(x 1 ) __ x 2 – x 1 Der Ausdruck f(x 2 ) – f(x 1 ) __ x 2 – x 1 ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt deshalb Differenzenquotient von f im Intervall [x 1 , x 2 ] . Merke Die Steigung k einer linearen Funktion f ist gleich dem Differenzenquotienten von f in einem beliebigen Intervall [x 1 , x 2 ]. Steigungsdreiecke Die weißen Dreiecke in den vorangegangenen Abbildungen bezeichnet man als Steigungsdreiecke . Man zeichnet ein Steigungsdreieck bei einer steigenden Geraden unterhalb der Geraden und bei einer fallenden Geraden über der Geraden ein. Ablesen der Steigung aus dem vorgegebenem Graphen: Man zeichnet ein beliebig großes Steigungsdreieck ein und liest die Kathetenlängen a und b ab. Dann ist k = b _ a , wenn f steigt, und k = – b _ a , wenn f fällt. Zeichnen des Graphen bei vorgegebener Steigung k = ± b _ a und einem Punkt P des Graphen: Ist k > 0 , geht man von P aus um a nach rechts und anschließend um b nach oben . Ist k < 0 , geht man von P aus um a nach rechts und anschließend um b nach unten . Merke Steigung k = ± b _ a („Senkrechte durch Waagrechte“) k > 0 É f steigt und k < 0 É f fällt R x 1 x 2 f f(x 2 ) – f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 x 2 – x 1 f x 2 – x 1 f(x 1 ) f(x 2 ) † f(x 2 ) – f(x 1 ) † x f(x) x f(x) R Ó Lernapplet 962fv7 f P P a f a b b 2. A. 2. A. 1. A. 1. A. Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv