Mathematik verstehen 5, Schulbuch

128 7 L INEaRE FUNkt IONEN Satz Der Graph einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d (mit k, d * R ) ist eine Gerade. BEwEIs : Wir gehen in zwei Schritten vor. 1. Wir betrachten zuerst eine Funktion f 0 mit f 0 (k) = k · x . Für k = 0 ist der Graph von f 0 eine Gerade (die 1. Achse). Für k ≠ 0 ist der Graph von f 0 die Gerade durch die Punkte O = (0 1 0) und E = (1 1 k). Denn für die Punkte P = (x 1 y) dieser Geraden und nur für diese Punkte gilt nach dem Strahlensatz y : k = x : 1, also y = k · x = f 0 (x). 2. Wir betrachten nun eine Funktion f mit f(x) = k · x + d und d≠ 0 . Der Graph von f geht aus dem Graphen von f 0 durch eine Parallelverschiebung um d in Richtung der 2. Achse hervor (nach oben für d > 0, nach unten für d < 0) und ist somit eben- falls eine Gerade.  Was geben die Zahlen k und d an? Deutung von d d = f(0) = Funktionswert von f an der Stelle 0. Denn es gilt: f(0) = k · 0 + d = d. Der Graph von f schneidet die 2. Achse im Punkt (0 1 d). Deutung von k k ist ein Maß für die Steigung von f (bzw. des Graphen von f). Man erkennt dies an den nebenstehend dargestellten linearen Funktionen der Form f(x) = k · x + 1. Wegen d = 1 verlaufen alle Graphen durch den Punkt (0 1 1). Für k < 0 fällt der Graph von f . Für k = 0 ist der Graph parallel zur x-Achse . Für k > 0 steigt der Graph von f . Mit wachsendem k dreht sich der Graph entgegen dem Uhrzeigersinn um den Punkt (0 1 1). Spezialfälle linearer Funktionen f(x) = d [k = 0] f(x) = k · x [d = 0] f(x) = x [k = 1, d = 0] f(x) = – x [k = –1, d = 0] G raph parallel zur x-Achse (konstante Funktion) Graph durch (0 1 0) 1. Mediane 2. Mediane x 1 1 0 g E P k y 1. A. 2. A. R Ó Lernapplet xu2ik7 0 d f x f(x) Ó Lernapplet 6p4za8 Ó Lernapplet 2376tt x f(x) 1 2 3 4 5 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 2 – 1 0 k = 2 k = 0 k = ‒2 k = 1 k = ‒ _ 1 2 k = ‒1 x f(x) d 0 f x f(x) 0 f x f(x) 0 f x f(x) 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv