Mathematik verstehen 5, Schulbuch

12 1 ZaHlEN UNd ZaHlENmENgEN Zusammenfassung: reelle Zahlen rationale Zahlen irrationale Zahlen Bruchdarstellung möglich nicht möglich Dezimaldarstellung endlich oder periodisch unendlich, aber nicht periodisch Manche Gleichungen lassen sich nicht mit rationalen, wohl aber mit irrationalen Zahlen lösen. Ein Beispiel stellt die Gleichung x​ ​ 2 ​= 2 dar, wie der folgende Satz zeigt. Satz Es gibt keine rationale Zahl x mit x​ ​ 2 ​= 2. BEwEIS : Wir führen einen so genannten indirekten Beweis. Wir nehmen das Gegenteil der Behauptung an und zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Dann muss klarer- weise die ursprüngliche Behauptung gelten. Wir nehmen also an: Es gibt eine rationale Zahl x = ​ z _ n ​mit ​x​ 2 ​= 2 (z * ℤ , n * ℕ *). Wir können voraus- setzen, dass n > 1 ist (denn für n = 1 wäre x eine ganze Zahl; es gibt aber keine ganze Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist). Außerdem können wir voraussetzen, dass der Bruch ​ z _ n ​so weit wie möglich durchgekürzt wurde. Dann lässt sich auch x​ ​ 2 ​= ​ z _ n ​· ​ z _ n ​nicht mehr weiter kürzen und somit ist x​ ​ 2 ​kei- ne ganze Zahl. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme x​ ​ 2 ​= 2.  Naheliegenderweise bezeichnet man die Lösungen der Gleichung x​ ​ 2 ​= 2 mit x = ​ 9 _ 2​und x = – ​ 9 _ 2​ (denn laut Definition der Quadratwurzel sind die Quadrate dieser beiden Zahlen gleich 2). Aus dem obigen Satz folgt, dass ​ 9 _ 2​und – ​ 9 _ 2​irrationale Zahlen sind. Man kann beweisen: Satz Die Zahl ​ 9 _ n​mit n * ℕ ist irrational, falls n keine Quadratzahl ist. 1 . 09 Wir wissen, dass die Zahl ​ 9 _ 2​irrational ist. Zeige, dass auch die Zahl 2 · ​ 9 _ 2​irrational ist! LöSUNg: Wir führen einen indirekten Beweis. Angenommen 2 · ​ 9 _ 2​wäre rational, dh. 2 · ​ 9 _ 2​= ​ z _ n ​ (mit z * ℤ und n * ℕ *). Dann wäre ​ 9 _ 2​= ​ z _ 2n ​(mit z * ℤ und 2n * ℕ *), dh. ​ 9 _ 2​wäre auch rational. Das ist ein Widerspruch!  Ein weiteres Beispiel für eine irrationale Zahl stellt die Zahl π dar. Der Nachweis, dass diese Zahl irrational ist, ist allerdings schwierig. Geometrische Darstellung reeller Zahlen Die rationalen Zahlen kann man als Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen. Eine Gerade wird zu einer Zahlengeraden, wenn man auf ihr zwei verschiedene Punkte wählt, denen man die Zahlen 0 und 1 zuordnet. Durch fortlaufendes Abtragen der Einheitsstrecke (Strecke von 0 bis 1) erhält man Punkte, denen die ganzen Zahlen … , –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, … zugeordnet werden können. Durch entsprechende Teilungen erhält man Punkte, denen die übrigen rationalen Zahlen zugeordnet werden können. Es gilt: Jeder rationalen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden. Aber: Nicht jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht eine rationale Zahl. R +1 +2 +3 +4 +5 +6 –1 –2 –3 – _9 4 _1 2 –4 –5 –6 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv