Mathematik verstehen 5, Schulbuch

113 6 .1 REEllE FUNkt IONEN UNd dEREN GRaPHEN Steigen und Fallen, Maximum und Minimum, Nullstellen häufige Fragen in Zusammenhang mit einer reellen Funktion sind: In welchen Intervallen steigen bzw. fallen die Funktionswerte? An welchen Stellen nimmt die Funktion einen größten bzw. kleinsten Wert an? An welchen Stellen nimmt die Funktion den Wert 0 an? Steigen der Funktion f bedeutet: Mit zunehmendem x nimmt f(x) zu. Fallen der Funktion f bedeutet: Mit zunehmendem x nimmt f(x) ab. Definition (1) Eine Stelle x * D f , an der f den größten Wert annimmt, heißt Maximumstelle von f . (2) Eine Stelle x * D f , an der f den kleinsten Wert annimmt, heißt Minimumstelle von f . Definition Eine Stelle x * D f mit f(x) = 0 heißt Nullstelle von f . 6 .19 Die Abbildung zeigt einen Temperaturverlauf an einem Wintervormittag von 6 Uhr bis 12 Uhr. Die Funktion T ordnet jeder Uhrzeit t die Temperatur T(t) zu. a) In welchen Zeitintervallen steigt bzw. fällt die Temperatur? b) Zu welchen Uhrzeiten ist die Temperatur am höchsten bzw. am niedrigsten? c) Wie viele Maximum- und Minimumstellen besitzt die Funktion T? d) In welchen Zeitintervallen ist die Temperatur positiv, in welchen negativ? e) Gib die Nullstelle der Funktion T an! Interpretiere sie! LösUNg: a) In den Zeitintervallen [6; 7] und [10; 11] steigt die Temperatur, in den Zeitintervallen [7; 10] und [11; 12] fällt sie. b) Um 7 Uhr ist die Temperatur am höchsten, um 10 Uhr und um 12 Uhr am niedrigsten. c) Die Funktion T besitzt eine Maximumstelle (nämlich 7) und zwei Minimumstellen (nämlich 10 und 12). d) Im Zeitintervall [6; 9) ist die Temperatur positiv, im Zeitintervall (9;12] negativ. e) Die Nullstelle von T ist 9. Zu diesem Zeitpunkt beträgt die Temperatur 0° C. AUfgabEN 6 . 20 Nebenstehend ist der Graph der Funktion f: [– 3; 1] ¥ R † x ¦ x 2 + 2 x gezeichnet. a) In welchem Intervall steigt f, in welchem fällt f? b) Gib die Maximum- und Minimumstellen von f an! c) Gib die Nullstellen von f an! R Ó Lernapplet 2f4z2p Uhrzeit t Temperatur T(t) (in °C) 6 7 8 9 10 11 12 1 2 – 1 0 T R x f(x) 1 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv