Mathematik verstehen 5, Schulbuch

111 6 .1 REEllE FUNkt IONEN UNd dEREN GRaPHEN Gleichung einer reellen Funktion BEIsPIEl : Die Funktion f: x ¦ y, die jedem x den Funktionswert y = 2x – x 2 zuordnet, kann u. a. auf folgende Arten angeschrieben werden: f(x) = 2x – x 2 bzw. y = 2x – x 2 Jede dieser beiden Darstellungen wird als Funktionsgleichung von f bezeichnet. Die Darstellung f(x) = 2x – x 2 heißt auch Termdarstellung von f , weil der Funktionswert f(x) durch einen Term in x ausgedrückt wird. BEaCHtE Äquivalente Funktionsgleichungen legen stets dieselbe Funktion fest. In der Schreibweise „f(x) = …“ wird im Gegensatz zur Schreibweise „y = …“ der Name f der betrachteten Funktion sichtbar, was häufig nützlich ist. Ermitteln einer geeigneten Definitionsmenge Nicht jede Gleichung in x und y legt eine Funktion von R nach R fest. Manchmal ist die Definitionsmenge nur eine echte Teilmenge von R . 6 .13 Legt die folgende Gleichung eine Funktion f: R ¥ R ‡ x ¦ y fest? Wenn nicht, gib eine möglichst große Teilmenge von R als Definitionsmenge an, sodass eine Funktion festgelegt wird! a) x · y + y = 1 b) 9 _ x– y = 1 LösUNg: a) x · y + y = 1 É y · (x + 1) = 1 É y = 1 _ x + 1 Es liegt keine Funktion f: R ¥ R ‡ x ¦ y vor, da der Zahl x = –1 kein y zugeordnet werden kann. Wählt man aber R \{–1} als Definitionsmenge, dann liegt eine Funktion vor: f: R \{–1} ¥ R ‡ x ¦ y b) 9 _ x– y = 1 É y = 9 _ x– 1 Es liegt keine Funktion f: R ¥ R ‡ x ¦ y vor, da jeder negativen Zahl x kein y-Wert zugeordnet werden kann. Wählt man aber R 0 + als Definitionsmenge, dann liegt eine Funktion vor: f: R 0 + ¥ R ‡ x ¦ y Falls bei einer Gleichung einer Funktion keine Definitionsmenge angegeben ist, wählt man üblicherweise R oder die größtmögliche Teilmenge von R als Definitionsmenge. AUfgabEN 6 .14 Kreuze diejenigen Gleichungen an, die eine Funktion f: R ¥ R † x ¦ y festlegen! y _ x – y = x y 2 = x – 1 1 _ 2 y = 1 – 2 xy 2 y = y + 2 x + 2 1 = 4 x + 4 y      6 .15 Legt die folgende Gleichung eine Funktion f: R ¥ R ‡ x ¦ y fest? Wenn nicht, gib eine möglichst große Teilmenge von R als Definitionsmenge an, sodass eine Funktion festgelegt wird! a) x · y = 1 b) y = 2 _ x + 3 c) y = x _ 1 + 4x d) y = 3 _ x(x + 4) R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv