Mathematik verstehen 5, Schulbuch

101 5 . 4 SINUssAtZ UNd COsINUssAtZ 5 . 46 von einem Dreieck kennt man a = 12, b = 9 und c = 4. Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung an und berechne α , β und γ ! LösUNg: Berechnung von α (mit dem Cosinussatz): a 2 = b 2 + c 2 – 2b c · cos α cos α = b 2 + c 2 – a 2 __ 2b c = 9 2 + 4 2 – 12 2 __ 2 · 9 · 4 α 1 ≈ 130,75°, α 2 = 180° – α 1 ≈ 49,25° An der maßstabsgetreuen Zeichnung erkennt man, dass α stumpf ist. Also kommt nur die erste Lösung in Frage: α ≈ 130,75° Berechnung von β : β kann mit dem Cosinussatz oder mit dem Sinussatz berechnet werden. Mit dem Cosinussatz: b 2 = c 2 + a 2 – 2 c a · cos β w cos β = c 2 + a 2 – b 2 __ 2 c a = 4 2 + 12 2 – 9 2 __ 2 · 4 · 12 β ≈ 34,62° Mit dem Sinussatz: sin β _ b = sin α _ a w sin β = b · sin α __ a = 9 · sin α __ 12 β 1 ≈ 34,62°, β 2 = 180° – β 1 ≈ 145,38° An der maßstabsgetreuen Zeichnung erkennt man, dass β spitz ist. Also kommt nur die erste Lösung in Frage: β ≈ 34,62° Berechnung von γ : γ = 180° – ( α + β ) ≈ 14,63° 5 . 47 Zeige, dass der pythagoräische Lehrsatz ein Spezialfall des Cosinussatzes ist! LösUNg: Ist beispielsweise γ der rechte Winkel in einem Dreieck, so lautet die dritte Gleichung des Cosinussatzes: c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos 90° É c 2 = a 2 + b 2 – 2ab·0 É c 2 = a 2 + b 2 AUfgAbEN 5 . 48 Berechne die restlichen Seitenlängen und Winkelmaße des gegebenen Dreiecks! a) a = 3, b = 5, γ = 55° c) b = 5,2, c = 6,9, α = 105° e) a = 118, b = 112, c = 60 b) a = 4,3, c = 6,5, β = 30° d) a = 5,8, b = 7,2, c = 11,4 f) a = 21,0, b = 12,6, c = 16,8 5 . 49 Rechne mit dem Cosinussatz nach, dass die Winkel im gleichseitigen Dreieck 60° betragen! 5 . 50 Berechne die restlichen Seitenlängen und Winkelmaße des folgenden vierecks! a) a = 5, b = 5,5 , c = 6, d = 4, α = 85° d) a = 7,6 , b = 3,3 , d = 4,2 , α = 48°, β = 103° b) a = 57, b = 68, c = 44, d = 37, β = 57° e) a = 69, b = 44, α = 61°, β = 117°, γ = 99° c) a = 23, b = 46, c = 32, d = 63, γ = 122,6° f) b = 7,3 , c = 4,9 , β = 58°, γ = 126°, δ = 101° 5 . 51 Ein Quader ABCDEFGH hat die Kantenlängen a = _ AB= 7cm, b = _ BC= 10 cm, c = _ AE= 4 cm. Wie groß ist der Winkel, den die Flächendiagonalen BE und BG miteinander einschließen? 5 . 52 Auf einem waagrechten Boden wirft ein Stab von 1,35m Länge, der gegen den Boden geneigt ist, einen Schatten von 2,55m Länge. Der Winkel zwischen Stab und Boden beträgt 75°. Unter welchem Winkel α fallen die Sonnenstrahlen auf den Boden? α b a β γ c L 75° α 2,55m 1,35m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv