Mathematik verstehen 5, Schulbuch

10 1 ZaHlEN UNd ZaHlENmENgEN 1 . 2 ZaHlbEREICHE Natürliche Zahlen Zahlen sind Erfindungen der Menschen. Die ältesten Zahlen sind die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, die sich aus dem Zählen von Gegenständen entwickelt haben. Dabei nimmt man an, dass man im Prinzip ohne Ende weiterzählen kann. Die Zahl 0 wird manchmal zu den natürlichen Zahlen gezählt, manchmal nicht. Wir zählen sie dazu und verwenden folgende Mengenbezeichnungen: N = Menge der natürlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} N * = Menge der natürlichen Zahlen ohne Null = {1, 2, 3, 4, 5, …} Ganze Zahlen Zur Angabe von Temperaturen, Kontoständen, Meereshöhen oder Ähnlichem erweisen sich negative Zahlen als nützlich, zum Beispiel: Temperatur – 8 °C [8 Grad unter null] Kontostand – 50€ [50 Euro Schulden] Meereshöhe –145m [145 Meter unter dem Meeresspiegel] Nimmt man zu den Zahlen 0, 1, 2, 3, … noch die Zahlen –1, – 2, – 3, … hinzu, erhält man die ganzen Zahlen . Für die Menge der ganzen Zahlen verwendet man folgende Bezeichnung: ℤ = Menge der ganzen Zahlen = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Es gilt also: ℕ ² ℤ . Manche Gleichungen lassen sich nicht mit natürlichen, wohl aber mit ganzen Zahlen lösen. Zum Beispiel besitzt die Gleichung x + 6 = 2 keine natürliche Zahl als Lösung, wohl aber die ganz- zahlige Lösung x = –4. Rationale Zahlen Um Bruchteile (relative Anteile) anzugeben, kommt man mit den ganzen Zahlen nicht aus. Man braucht dazu positive Bruchzahlen wie zB ​ 1 _ 2 ​, ​ 3 _ 4 ​, ​ 2 _ 9 ​, … Nimmt man zu diesen Zahlen noch die negativen Bruchzahlen wie zB – ​ 1 _ 2 ​, – ​ 3 _ 4 ​, – ​ 2 _ 9 ​, … sowie die Zahl 0 hinzu, erhält man die rationalen Zahlen . Diese Zahlen lassen sich alle in der Form ​ z _ n ​darstellen, wobei z * Z und n * ℕ * ist. Das gilt auch für die Zahl 0, weil man diese etwa in der Form 0 = ​ 0 _ 2 ​anschreiben kann. Für die Menge der rationalen Zahlen verwendet man folgende Bezeichnung: ℚ = Menge der rationalen Zahlen = ​ { ​​​ z _ n ​ ‡ ​z * Z und n * ℕ * } ​ Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, denn eine ganze Zahl z kann in der Form ​ z _ 1 ​= ​ 2z _ 2 ​= ​ 3z _ 3 ​= … geschrieben werden. Es gilt also: Z ² Q . Manche Gleichungen lassen sich nicht mit ganzen, wohl aber mit rationalen Zahlen lösen. Zum Beispiel hat die Gleichung 3x = 2 keine ganzzahlige Lösung, wohl aber eine rationale Lösung, nämlich x = ​ 2 _ 3 ​. R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv