Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

15 Lösungen J Zylinder, Kegel, Kugel 1 Zylinder (Seiten 70, 71) 274 a) r = 10cm, h = 25cm ➞ O = 2 π · 10 2 + 2 π · 10 · 25 = 2199,114…cm 2 ≈ 2199cm 2 b) V = π · 10 2 · 25 = 7853,981…cm 3 = 7,853…dm 3 ≈ 0,00785 m 3 c) m = V · ρ = 0,00785… · 450 = 3,534… kg ≈ 3,5 kg 275 r = 9 cm ➞ V = 8 906,415…cm 3 = 8,906…dm 3 = 8,906… Liter. Das Glasgefäß fasst rund 8,9 Liter. 276 a) r = 0,4 m, Höhe des Wasserzylinders h = 0,7 m V = 0,351 85… m 3 = 351,85…dm 3 = 351,85… Liter ≈ 3,52 hLiter b) Bestrichene Fläche: je zweimal Grundfläche und Mantelfläche ➞ A = 8,042… m 2 ≈ 8,0 m 2 277 h = V ____ ( π · r 2 ) ➞ h = 2,099…cm ≈ 2,1 cm 278 r 2 = V ____ ( π · h) ➞ r = √ ____ V ____ ( π · h) ➞ r = 3,498…cm ≈ 3,5 cm 279 Masse: ca. 7,6 kg 280 1 347m 3 281 3 _ 4 Liter = 0,75 Liter = 0,75dm 3 = 750 cm 3 d = 12,4 cm ➞ r = 6,2 cm ➞ h = 6,210…cm ≈ 6,2 cm 282 a) 1) M 1 = 2 π · r 1 · h 1 = 2 π · r · 2 · h = 4 π · r · h = 2 · M Die Mantelfläche wird doppelt so groß. 2) V 1 = π · r 1 2 · h 1 = π · r 2 · 2 · h = 2 · π · r 2 · h = 2 · V Das Volumen wird doppelt so groß. b) 1) M 2 = π · 2 · r 2 · h 2 = 2 · 2 · π · r · h = 4 · π · r · h = 2 · M Die Mantelfläche wird doppelt so groß. 2) V 1 = π · r 2 2 · h 2 = (2 · r) 2 · π · h = 4 · π · r 2 · h = 4 · V Das Volumen wird viermal so groß. c) 1) M 2 = 2 · π · r 3 · h 3 = 2 · 2 · r · π · 2 · h = 8 · π · r · h = 4 · M Die Mantelfläche wird viermal so groß. 2) V 1 = π · r 3 2 · h 3 = π · (2 · r) 2 · 2 · h = 8 · r 2 · π · h = 8 · V Das Volumen wird achtmal so groß. 283 1) ca. 294 cm 2 2) ca. 0,88g/cm 3 2 Kegel (Seiten 71, 72) 284 a) r = 6,5 cm ➞ V = 690,207…cm 3 ≈ 690 cm 3 b) s = 16,9 cm ➞ M = 345,103…cm 2 ≈ 345 cm 2 c) O = G + M = 477,836…cm 2 ≈ 478 cm 2 285 1) O = π · 10 · 10,5 2 + π · 10,5 · 27,3 = 1 246,898…cm 2 ≈ 1 247cm 2 2) Zum Berechnen des Rauminhalts benötigst du noch die Höhe des Kegels. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: h = √ ____ s 2 – r 2 = √ ________ 27,3 2 – 10,5 2 = 25,2 cm ➞ V = 2 909,428…cm 3 ≈ 2 909 cm 3 286 a) r = 6,2 cm, h Z = 6,4 cm, h K = 13,8 cm V Z = 772,882…cm 3 , V K = 555,508…cm 3 ➞ V = 1 328, 391…cm 3 = 1,328…dm 3 ≈ 1,33 Liter Das Gefäß fasst rund 1,33 Liter. b) Die zu lackierende Fläche A ist so groß wie die Mantelfläche des Zylinders und die Mantelfäche des Kegels zusammengenommen: s = 15,128…cm M Z = 249,316…cm 2 , M K = 294,676…cm 2 ➞ A = 543,993… ≈ 544 cm 2 Es sind rund 544 cm 2 zu lackieren. 287 V = π · r 2 · h ____ 3 ➞ h = V · 3 ____ ( π · r 2 ) ➞ h = 3,819…m ≈ 3,82m 288 Da das Produkt π · h etwas mehr als 3 ergibt und V = π · r 2 ·h ____ 3 den Zahlenwert 1 haben soll, muss r 2 etwas kleiner als 1 sein. Daher ist auch r kleiner als 1 m und der Durchmesser knapp weniger als 2 m. V = π · r 2 · h ____ 3 ➞ r 2 = V · 3 ____ ( π · h) ➞ r 2 = 0,954… ➞ r = 0,9772…m ➞ d ≈ 1,95 m 289 1. Platz (5 kg): ≈ 19 cm 2. Platz (4 kg): ≈ 15 cm 3. Platz (3 kg): ≈ 11 cm 290 h = 2 cm. 291 1B (cm 3 ), 2A (mm 3 ), 3E (dm 3 ), 4B (m 3 ) 3 Kugel (Seiten 73, 74) 292 r = 4,2 cm ➞ O = 4 π · 4,2 2 = 221,67cm 3 ≈ 222 cm 3 , V = 4 π __ 3 · 4,2 3 = 310,339…cm 3 ≈ 310 cm 3 = 0,31 dm 3 = 0,000 31 m 3 ➞ m = V · ρ ≈ 0,124 kg ≈ 12,4dag 293 NEIN a) r 1 = 5 cm ➞ r · 2 = 10 cm ➞ O 1 ≈ 314 cm 2 , O 2 ≈ 1 257cm 2 ; V 1 ≈ 524 cm 3 , V 2 ≈ 4189 cm 3 Marvins Behauptung ist falsch. b) O 2 = 4 · π · r 2 2 = 4 · π · (2 · r 1 ) 2 = 16 · π · r 1 2 = 4 · O 1 Die Oberfläche wird viermal so groß . V 2 = 32 · π ___ 3 · r 1 3 = 8 · V 1 Das Volumen wird achtmal so groß. 294 a) O ≈ 12,6 m 2 V ≈ 4,2 m 3 b) r ≈ 28,2 cm V ≈ 94,0dm 3 c) r ≈ 62,0 cm O ≈ 4,8 m 2 295 a) ca. 2 827cm 2 b) 2 686 Spiegel 296 um ca. 841 % 297 Volumen = Masse durch Dichte = 4 kg  7870 kg/m 3 ➞ V = 0,000 508… m 3 ; r 3 = 3V __ 4 π ➞ r = 3 √ __ 3V __ 4 π ➞ r = 0,049 50… m ≈ 4,95 cm Die 4 kg-Eisenkugel hat einen Durchmesser von rund 9,9 cm. 298 Das Volumen verachtfacht sich, die Oberfläche vervierfacht sich. 299 Für das Volumen der Flaschen muss man jeweils das Volumen von Zylinder und Halbkugel addieren. r 1 = 4 cm h 1 = 8 cm ➞ V 1 = V Z + V HK = π · 4 2 · 8 + 1 _ 2 · 4 π __ 3 · 4 3 = 536,165… cm 3 ≈ 536 cm 3 r 2 = 2 cm h 2 = 20 cm ➞ V 2 = V Z + V HK = π · 2 2 · 20 + 1 _ 2 · 4 π __ 3 · 2 3 = 268,082… cm 3 ≈ 268 cm 3 Die Flasche 1 fasst mehr Inhalt. Zum Ermitteln des Materialverbrauchs benötigt man jeweils die Grundfläche und die Mantelfläche des Zylinders sowie die halbe Oberfläche der Kugel. A = G Z + M Z + 1 _ 2 · O K = π · r 2 + π · d · h + 1 _ 2 · 4 π · r 2 A 1 = π · 4 2 + π · 8 · 8 + 1 _ 2 · 4 π · 4 2 = 351,858…cm 2 ≈ 352 cm 2 A 2 = π · 2 2 + π · 4 · 20 + 1 _ 2 · 4 π · 2 2 = 289,026…cm 2 ≈ 289 cm 2 Die Flasche 1 benötigt mehr Material. 300 C A B D Merkenswertes (Seite 75) A Zylinder Für den Zylinder gilt wie für das Prisma „Volumen = Grundfläche mal Höhe“ (V = G · h). Da die Grundfläche des Zylinders ein Kreis ist, folgt für sein Volumen die Formel V = π · r² · h. Für die Oberfläche des Zylinders gilt: Oberfläche = 2 mal Grundfläche plus Mantel (O = 2 · G + M) Denkt man sich den Mantel des Zylinders in der Ebene ausgebreitet, so entsteht ein Rechteck, dessen eine Seite genau so lang wie der Umfang der Grundfläche (u G ) und dessen andere Seite genau so lang wie die Höhe (h) des Zylinders ist. Es gilt: M = u G · h Da u G = 2 · π · r ist, folgt für M = 2 · π · r · h und für O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h. B Kegel Das Volumen des Kegels wird wie das der Pyramide mit der Formel V = G · h ___ 3 berechnet („Volumen = Grundfläche mal Höhe durch 3“). Da die Grundfläche des Kegels ein Kreis ist folgt V = π · h ___ 3 ·r 2 . Die Oberfläche des Kegels setzt sich aus der Grundfläche und dem Mantel zu- sammen. Der ausgebreitete Mantel des Kegels stellt einen Kreissektor dar, des- sen Radius der Länge der Mantellinie s und dessen Bogenlänge dem Umfang u G der Grundfläche entspricht. Da der Flächeninhalt eines Kreissektors mit A = b · r ___ 2 berechnet werden kann, ergibt sich für den Mantel des Kegels M = 2 · π · r · s _____ 2 = π · r · s und für die Oberfläche O = π · r² + π · r · s. C Kugel Das Volumen der Kugel wird mit V = 4 π r 3 ___ 3 und ihre Oberfläche mit O = 4 · π · r² berechnet. Lösungswort: Fussballnationalmannschaft Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv