Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

14 Lösungen Merkenswertes (Seite 65) Für die Seitenlängen jedes rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt der Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 Außerdem gilt der Kathetensatz: a 2 = c · p und b 2 = c · q Der Höhensatz lautet: h 2 = p · q Die Strecken p und q nennt man die Hypotenusenabschnitte. Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a gilt für die Höhe h = √ _ 3 · a _ 2 und für den Flächeninhalt A = √ _ 3 · a 2 __ 4 Im Rechteck gilt folgender Zusammenhang zwischen den Längen der Seiten a und b und der Diagonale d: d 2 = a² + b² bzw. d = √ _____ a 2 + b 2 Im Quadrat gilt: d 2 = 2 · a² bzw. d = √ _ 2 · a Im gleichschenkligen Dreieck, im allgemeinen Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez erhält man durch Einzeichnen von Höhen rechtwinklige Teildreiecke. Kennt man zwei ihrer Seitenlängen, kann man mit Hilfe des Satzes von Pytha goras die dritte Seitenlänge und somit alle gesuchten Streckenlängen des Dreiecks bzw. Vierecks berechnen. In der Raute und beim Drachen bilden die normal aufeinander stehenden Diagonalen rechtwinklige Teildreiecke, die man zum Berechnen gesuchter Seiten- und Diagonalenlängen verwenden kann. Lösungstext: RECHTWINKLIGE DREIECKE I Berechnungen bei Prismen und Pyramiden 1 Prisma (Seiten 66, 67) 259 a) D F E B A C b) D E F B A G C J K L H I 260 a) d 1 = 15,3 cm, d 2 = 22,2 cm, d 3 = 24,964…cm ≈ 25,0 cm; d = 25,982…cm ≈ 26,0 cm b) V = 2 041,2 cm 3 c) O = 1 063,8 cm 2 261 A: Kasten drehen 60 ×100 ×196 ➞ 60 < 80; 100 < 150; 196 < 200 C: Raumdiagonale des Lifts: 292 cm und 292 > 250 262 Die Flächendiagonale d 1 ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b. Es gilt daher d 1 2 = a 2 + b 2 und d 1 = √ _____ a 2 + b 2 . In gleicher Weise gilt d 2 2 = a 2 + c 2 und d 2 = √ _____ a 2 + c 2 . Ebenso gilt d 3 2 = b 2 + c 2 und d 3 = √ _____ b 2 + c 2 . Die Raumdiagonale d ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten d 1 und c. Es gilt daher d 2 = d 1 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 und d = √ ________ a 2 + b 2 + c 2 . 263 a) V = a · a · a = a 3 ➞ a = 3 √ __ V ➞ a = 8,4 cm. b) d 1 = 11,879…cm ≈ 11,9 cm; d = 14,549…cm ≈ 14,5 cm c) O = a 2 · 6 ➞ O = 423,36 cm 2 264 a) ≈ 102 cm b) ≈ 62 cm c) ≈ 50 cm d) ≈ 30 cm 265 a) G = 39,079cm 2 ≈ 39,1 cm 2 Die Höhe h des Prismas entspricht der Länge der Stahlschiene ➞ V = 3 360,828 cm 3 ≈ 3 361 cm 3 b) Die Mantelfläche M besteht aus drei Rechtecken mit den Seitenlängen 9,5 cm und 86,0 cm. M = 2 451 cm 2 ➞ O = 2 529,158 cm 2 ≈ 2 529 cm 2 c) V = 3 360,828…cm 3 = 3,360…dm 3 = 0,003 36… m 3 m = 0,003 36… · 7800 = 26,214… ➞ m ≈ 26,2 kg. 266 Da der Eiswürfel eine Seitenlänge von ca. 1,5m hat, passt er nicht durch die Tür der Gondel. 2 Pyramide (Seiten 67, 68, 69) 267 a) B A C D S b) D E S F B A C 268 a) G = a 2 ➞ G = 23,04 cm 2 ➞ V = 34,56 cm 3 b) h 1 2 = h 2 + ( a _ 2 ) 2 ➞ h 1 = 5,1 cm. c) Der Mantel besteht aus vier gleichschenkligen Dreiecken. A = a · h 1 ___ 2 ➞ A = 12,24 cm 2 ➞ M = 48,96 cm 2 ➞ O = 72,0 cm 2 d) s 2 = h 1 2 + ( a _ 2 ) 2 ➞ s = 5,636…cm ≈ 5,6 cm. 269 a) 0,985m 2 · 560 = 552€ b) 153,09 kg, die Skulptur kann transportiert werden! 270 a) ( a _ 2 ) 2 = s 2 – h 1 2 ➞ a _ 2 = 9,9 m ➞ a = 19,8 m ➞ M = 522,72 m 2 . Die Dachfläche ist rund 523 m 2 groß. b) h 2 = h 1 2 – ( a _ 2 ) 2 ➞ h = 8,730… m ≈ 8,7 m ➞ V = 1 140,964m 3 ≈ 1 141 m 3 271 a) ca. 116 cm 272 a) G = 3 · V ___ h ➞ G = 15 m 2 . Die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck, das sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist daher rund 2,5 m 2 groß. A = √ _ 3 · a 2 __ 4 ➞ a 2 = 4 · A ___ √ _ 3 ➞ a 2 = 5,773… ➞ a = 2,402… m Die Grundkanten der Pyramide müssen rund 2,40 m lang sein. b) Die Seitenkante s, die Körperhöhe h und die halbe Grundflächen diagonale bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die halbe Grundflächendia- gonale ist genau so lang wie die Grundkante a. s² = h² + a² ➞ s ≈ 6,5 cm 273 Ein dreiseitiges Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit inhaltsgleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Merkenswertes (Seite 69) Formelsammlung räumliche Geometrie Quader: Flächendiagonalen: d 1 = √ _____ a 2 + b 2 , d 2 = √ _____ a 2 + c 2 , d 3 = √ _____ b 2 + c 2 Raumdiagonale: d = √ ________ a 2 + b 2 + c 2 Würfel: Flächendiagonale: d 1 = d 2 = d 3 = √ _ 2 · a Raumdiagonale: d = √ _ 3 · a Prisma: O = 2 · G + M, V = G · h Pyramide: O = G + M, V = 1 _ 3 · G · h Dichte von Körpern: ρ = m __ V Lösungstext: SCHAU GENAU! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv