Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

12 Lösungen 3 Flächeninhalt des Kreises (Seite 55) 213 a) r = 8,9 cm Ü: A ≈ 3 · 9 2 = 243 cm 2 TR: A = π · 8,9 2 = 248,845… ≈ 249 cm 2 b) r = 4,81m Ü: A ≈ 3 · 5 2 = 75m 2 TR: A = π · 4,81 2 = 72,684… ≈ 72,7m 2 214 Umfang: Ü: u ≈ 3 · 20 = 60 TR: u ≈ 57,5m (57,491…) Flächeninhalt: Ü: A ≈ 3 · 10 2 = 300 TR: A ≈ 263m 2 (263,022…) 215 a) r 2 = A __ π ➞ r = √ __ A __ π b) r ≈ 2,8 cm (2,843…), u ≈ 17,9 cm (17,865…) 216 a) u ≈ 6,3m A = π m 2 ≈ 3,14m 2 b) r = 1 ___ (2 π ) m ≈ 0,16m c) r = √ __ 1 __ π m ≈ 0,56m 217 C 218 1C, 2A, 3E, 4F 4 Flächeninhalt des Kreissektors (Seiten 55, 56) 219 a) 5,24 cm 2 b) 21,60 cm 2 c) 23,7cm 2 220 1) b = A · 2 ___ r ➞ b = 16 · π cm ≈ 50,3 cm 2) α = A · 360 ____ ( π · r 2 ) ➞ α = 45° oder α = b · 180 ____ ( π · r) ➞ α = 45° 221 a) äußerer Kreisbogen: b 1 ≈ 404,9m, innerer Kreisbogen: r 2 = 147,5m ➞ b 2 ≈ 373,3m. Insgesamt werden rund 778,2m Leitschienen benötigt. b) großer Kreissektor: A 1 ≈ 32 393m 2 , kleinerer Kreissektor A 2 ≈ 27530m 2 Insgesamt werden für die Kurve rund 4 864m 2 Straßenbelag benötigt. 222 C, D, E 223 1D, 2E, 3A, 4C 5 Flächeninhalt und Umfang des Kreisringes (Seiten 56, 57) 224 u: a) 364,4mm b) 163,4 cm c) 20,1m d) 529,7cm e) 212,4 cm A: a) 2915,4mm 2 b) 163,4 cm 2 c) 6,0m 2 d) 5 482,1 cm 2 e) 3 206,8 cm 2 225 C, D 226 a) Umkreis: d = √ _ 2 · a ➞ d ≈ 8,5 cm (8,485…) ➞ r 1 ≈ 4,2 cm (4,242…) ➞ u 1 ≈ 26,7cm (26,657…), A 1 ≈ 56,5 cm 2 (56,548…) Inkreis: r 2 = 3 cm ➞ u 2 ≈ 18,8 cm (18,849…), A 2 ≈ 28,3 cm 2 (28,274…) Kreisring: u ≈ 45,5 cm (45,506…), A ≈ 28,3 cm 2 (28,274…) b) p% ≈ 78,5% (78,539…) Merkenswertes (Seite 57) A Umfang und Flächeninhalt des Kreises Für den Umfang des Kreises gilt (Kurzsprechweise): „Umfang = π mal Durch messer“, als Formel: u = π · d bzw. u = 2 π · r. Für den Flächeninhalt des Kreises gilt kurz: „Flächeninhalt = π mal Radius hoch 2“, als Formel A = π · r² B Umfang und Flächeninhalt des Kreissektors Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem Kreisbogen begrenzt. Hat der Kreissektor den Zentriwinkel α , dann wird die Länge des Kreisbogens b folgendermaßen berechnet: b = π · α ___ 180 · r Den Umfang des Sektors berechnet man mit u = 2 · r + b. Für den Flächeninhalt des Kreissektors gilt: A = π · α ___ 360 · r 2 bzw. A = b · r ___ 2 B Umfang und Flächeninhalt des Kreisringes Ein Kreisring wird durch zwei konzentrische Kreise begrenzt. Für seinen Umfang gilt: u = u 1 + u 2 = 2 π · r 1 + 2 π · r 2 = 2 · π · (r 1 + r 2 ) Der Flächeninhalt des Kreisringes wird mit Hilfe der Differenz der beiden Kreisflächeninhalte berechnet: A = A 1 – A 2 = π · r 1 2 – π · r 2 2 = π · (r 1 2 – r 2 2 ). Lösungstext: „Störe meine Kreise nicht!“ (angeblich Archimedes) H Satz des Pythagoras in ebenen Figuren 1 Rechtwinkliges Dreieck (Seiten 58, 59) 227 a) b) c) d) e) a (in cm) 19,5 67,2 31,2 19,5 33,6 b (in cm) 46,8 28,0 23,4 26,0 25,2 c (in cm) 50,7 72,8 39,0 32,5 42,0 A (in cm 2 ) 456,3 940,8 365,04 253,5 423,36 h c (in cm) 18,0 25,85 18,72 15,6 20,16 Lösungstext: DIE ZAUBERFLOETE 228 a) A = (1 1 2), B = (5 1 7) b) Die Differenz ihrer x-Koordinaten beträgt 4 cm. Die Differenz ihrer y-Koordinaten beträgt 5 cm. __ AB 2 = 4 2 + 5 2 ➞ __ AB = √ __ 41cm ≈ 6,4 cm c) __ AB ≈ 6,4 cm 229 a) 0 y 2 4 1 3 5 x 1 2 3 4 5 6 7 A B C b) Seite AB: Differenz der x-Koordinaten: 7cm Differenz der y-Koordinaten: 1 cm __ AB 2 = 7 2 + 1 2 ➞ __ AB = √ __ 50cm ≈ 7,1 cm Seite BC: Differenz der x-Koordinaten: 5 cm Differenz der y-Koordinaten: 5 cm __ BC 2 = 5 2 + 5 2 ➞ __ BC = √ __ 50cm ≈ 7,1 cm Seite AC: Differenz der x-Koordinaten: 2 cm Differenz der y-Koordinaten: 4 cm __ AC 2 = 2 2 + 4 2 ➞ __ AC = √ __ 20cm ≈ 4,5 cm c) __ AB ≈ 7,1 cm, __ BC ≈ 7,1 cm, __ AC ≈ 4,5 cm d) A = 35 cm 2 – (3,5 + 12,5 + 4,0) cm 2 = 15 cm 2 230 1) 2) (verkleinert) 0 y 2 4 1 3 6 5 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 3) A = 44 cm 2 4) u = 20 + 2 √ _ 8 + 4 √ __ 13 w u ≈ 40,1 cm (40,07…) 231 1D, 2A, 3B, 4C 232 1) 612m 2) ca. 7,1% 3) ca. 125 km Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv