Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

11 Lösungen 188 1) _ x = 40,05mm, s = 0,128… 2) zu kurz: 2 Bolzen, durchschnittlich um 0,15mm; 3) zu lang: 5 Bolzen, durchschnittlich um 0,16mm 4) Ausschuss: 4 Bolzen … 40% 189 1) Klasse A: _ x = 3, Median = 3; Klasse B: _ x = 3, Median = 3 Kein Unterschied bei _ xund Median. 2) a) Klasse A: (1 – 3) 2 · 1 + ( 2 – 3 ) 2 · 7 + (3 – 3) 2 · 9 + (4 – 3) 2 · 5 + (5 – 3) 2 · 2 _______________________________ 24 = 1 Klasse B: (1 – 3) 2 · 6 + (2 – 3) 2 · 3 + (3 – 3) 2 · 5 + (4 – 3) 2 · 5 + (5 – 3) 2 · 5 _______________________________ 24 = 13 __ 6 b) Klasse A: s = √ _ 1 = 1; Klasse B: s = √ __ 13 __ 6 = 1,47… Dh: Die Streuung der Punkteanzahl ist in Klasse B größer als in Klasse A. 190 Liste 1 Liste 2 Liste 3 q 1 27 119 1 179 q 2 48,5 134,5 1 181,5 q 3 73 147 1 185 Quartilsabstand 46 28 6 Liste 1 hat den größten und Liste 3 den kleinsten Quartilsabstand. 191 C, E 192 1A, 2E, 3F, 4B 3 Boxplot (Kastenschaubild) (Seiten 49, 50, 51) 193 4A-Klasse: Minimum 45 4B-Klasse: Minimum 29 q 1 58 q 1 49 Median 64,5 Median 62,5 q 3 70 q 3 71,5 Maximum 92 Maximum 100 arithmetisches Mittel 65,5 arithmetisches Mittel: 61,9 Spannweite 47 Spannweite 71 Quartilsabstand 12 Quartilsabstand 22,5 Standardabweichung 11,74 Standardabweichung: 17,28 194 a) B, D b) B, D 195 Minimum: 4,8 Liter, Maximum: 10,2 Liter, q 1 = 5,75 Liter, q 2 = Median = 6,65 Liter, q 3 = 8,2 Liter 4,8; 4,9; 5,3; 5,3; 5,7; 5,8; 5,8; 6,3; 6,6; 6,4; 6,7; 7,2; 7,4; 7,5; 7,6; 8,8; 8,9; 9,0; 9,2; 10,2 0 1 5 10 Liter 4,8 l q 1 q 2 q 3 10,2 l 196 1D, 2C, 3E, 4B, 5A 197 Minimum: 3 m, Maximum: 72 m, q 1 = 9 m, q 2 = 13 m, q 3 = 22 m 1) 3 m q 1 q 2 q 3 72 m 2) Rückgang höchstens q 1 : 15 Gletscher Rückgang mindestens q 3 : 16 Gletscher Rückgang im Bereich von q 1 und q 3 : 32 Gletscher 3) 5,73 m; 10,89 m; 16,29 m; 37,94 m 198 a) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 b) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 199 1) q 1 = 30 s; q 2 = 52 s; q 3 = 83 s 2) 0 10 50 100 s 18 s q 1 q 2 q 3 115 s 4 3 5 2 6 1 Merkenswertes (Seite 52) A Kenngrößen zur Beschreibung von Daten Wichtige Kennzahlen bei der Beschreibung von Daten sind Mittelwerte und Streumaße. Mittelwerte sind das arithmetische Mittel _ x, der Median und der Modus. Zur Berechnung des arithmetischen Mittels dividiert man die Summe der Zahlenwerte durch die Anzahl der Werte. Sind die relativen Häufigkeiten der Werte gegeben, so spricht man von einem gewichteten Mittel. Der Median (Zentralwert) ist bei einer ungeraden Anzahl von Zahlen der Wert in der Mitte der geordneten Zahlenreihe. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist der Medi- an das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte liegenden Zahlenwerte. Der am häufigsten auftretende Wert einer Zahlenreihe heißt Modus. Nicht jeder Mittelwert eignet sich immer gleich gut zur Beschreibung einer Datenreihe. Das arithmetische Mittel wird stark von so genannten „Ausreißern“ beeinflusst. B Boxplot, Quartile und weitere Streumaße Der Median teilt die Werte einer geordneten Liste in zwei Hälften, dh. dass der Median die 50%-Grenze der Daten markiert. Nun kann man auch die 25%-Gren- ze einer Datenreihe angeben, also jene Grenze, unter der ca. ein Viertel der Daten liegt, genannt 1. Quartil q 1 . Ebenso gibt es die 75%-Grenze, das 3. Quartil q 3 . Zeichnet man einen „Kasten“ mit den Grenzen q 1 und q 3 und einer Unterteilung bei q 2 mit „Verlängerungsarmen“ bis zum Minimum und bis zum Maximum der Zahlenreihe, so erhält man ein Diagramm, den Boxplot (Kastenschaubild). Dar- aus kann man die Verteilung der Daten gut erkennen. Ein großer Abstand zwi- schen q 1 und q 3 bedeutet eine große Streuung der Daten. Die Streuung kann man auch durch die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom arithmeti- schen Mittel, genannt Varianz, angeben. Die Quadratwurzel der Varianz heißt Standardabweichung. Lösungstext: „Es gibt nur eins, was Auf Dauer teurer ist als Bildung – keine Bildung!“ (John F. Kennedy) G Berechnungen am Kreise 1 Umfang des Kreises – die Zahl π („Kreiszahl“) (Seite 53) 200 a) d = 15,7cm Ü: u ≈ 3 · 16 = 48 TR: u = π · 15,7 = 49,323…cm ≈ 49,3 cm b) d = 6,14 m Ü: u ≈ 3 · 6 = 18 TR: u = π · 6,14 = 19,289…m ≈ 19,3m c) r = 4,20 km Ü: u ≈ 3 · 8 = 24 km TR: u = π · 8,4 = 26,389…km ≈ 26,4 km 201 a) u ≈ 15 325 km c) u ≈ 449197km b) u ≈ 38 026 km d) u ≈ 155 597km 202 a) d = u __ π b) r = u ____ (2 · π ) 203 a) r = 3,899…cm ≈ 3,9 cm b) r = 0,725…m ≈ 0,73m 204 a) r ≈ 3 397km b) r ≈ 1 195 km c) r ≈ 25 559 km d) r ≈ 60 268 km 205 a) Savanna hat Recht. b) Das Rad vollführt rund 318 Umdrehungen. 206 a) C, E b) D, E c) A, C 2 Länge des Kreisbogens (Seite 54) 207 a) b = 8,848…cm ≈ 8,8 cm b) b = 52,311… m ≈ 52,3 m c) u = 64,311…cm ≈ 64,3 cm 208 a) 60° ➞ b ≈ 99,5 cm (99,483…) b) 270° ➞ b ≈ 447,7cm ≈ 4,48m c) 24 volle Umdrehungen, das entspricht 24 Kreisumfängen. u ≈ 596,9 cm, 24 · u ≈ 14 326 cm ≈ 143,26m. Der Zeiger legt in 1 Tag rund 143m zurück. 209 a) r = b · 180 ____ ( α · π ) b) α = b · 180 ____ ( π · r) 210 a) r ≈ 19,7cm (19,716…) b) α ≈ 85° (84,955…) ° 211 S E E K C N O N N D Start 95,5 13,4 11,2 9,4 8,6 73,7 11,6 9,8 45,8 70,0 Lösungswort: SONNENDECK 212 1C, 2A, 3F, 4E Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv