Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

10 Lösungen 168 1) B, D 2) 9 Mädchen, 16 Burschen 169 a) Der Treffpunkt ist um 7:15 Uhr, 4,75 km von Neuberg entfernt. b) 0 s (in km) t (in h) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 S(1,25|6,25) 170 1. x + y = 110 2. x · 0,55 + y · 0,6 = 40 · 0,55 + 70 · 0,60 = 64 ➞ 64 = 110 · p p = ​ 64 ___ 110 ​ ≈ 58% 171 Salzmenge: 300 · 0,18 = 54 kg Gesamtmasse: 300 + x kg 54 = 0,12 · (300 + x) ➞ x = 150 kg 172 s (in km) t (in min) 3 0 3 6 9 12 15 18 6 9 12 -3 R E(6|18) P Der Raser wird nach 18 km (6 min) von der Polizei eingeholt. Merkenswertes (Seite 44) A Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y * ℝ hat die Form a x + b y = c. (a, b, c * ℝ ) Eine solche Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Das sind geordnete Zahlenpaare (x 1 y), die die Gleichung erfüllen. Die graphische Darstel- lung der Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gerade. Es sind folgende Sonderfälle möglich: Die Gerade ist eine Parallele zur x-Achse (zB 5 y = 25) oder sie ist eine Parallele zur y-Achse (zB 4 x = 12, das ist keine Funktion!) B Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Ein lineares Gleichungssystem besteht zumindest aus zwei linearen Gleichun- gen mit zwei Variablen. Ein solches System hat im Allgemeinen ein einziges Zahlenpaar als Lösung (die Geraden haben dann genau einen Schnittpunkt). Es kommt aber auch vor, dass zwei Gleichungen mit zwei Variablen unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung haben. Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen sind äquivalent und die zugehöri- gen Geraden sind zusammenfallend. Sie haben daher unendlich viele Punkte gemeinsam. Das Gleichungssystem besteht eigentlich nur aus einer linearen Gleichung mit zwei Variablen. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel und haben daher keinen Schnittpunkt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. L = { } C Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems Für viele Aufgaben ist das graphische Lösungsverfahren nicht gut geeignet. Bei rechnerischen Lösungsverfahren möchte man aus aus den beiden Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen erhalten. Drei Methoden sind gebräuchlich: 1) Einsetzungsverfahren, 2) Gleichsetzungsverfahren, 3) Eliminationsverfahren (Subtraktions-, Additionsverfahren) Lösungstext: „Sage es mir, und ich vergesse es; zeige es mir, und ich erinnere mich; lass es mich tun, und ich behalte es!“ (Konfuzius) F Statistik 1 Mittelwerte (Seiten 45, 46, 47) 173 1) arithmetisches Mittel: 34,45 2) Median: 38 3) Modus: 44 174 1) arithmetisches Mittel: 1705€ Median: 1 380€ Modus: 1 100€ 2) Betriebsrat: Median, eventuell auch Modus Betriebsleitung: arithmetisches Mittel Das mittlere Einkommen von 1 380€ im Monat ist recht niedrig. Das mittlere Einkommen von 1705€ ist doch ganz ansehnlich. 3) Der Median ist der aussagekräftigste Mittelwert. Der Modus besteht aus nur 2 Werten und liegt an einem Ende der Liste. Links vom arithmetischen Mittel liegen 7 Werte, rechts nur einer. 175 1) arithmetisches Mittel Median Modus Beatrix 18 19 12 Christoph 18 19 19 oder 20 arithemtisches Mittel und Median: beide gleich Modus: Christoph 2) Nein, da es nur beim Modus einen Unterschied gibt. 176 1) Median: 38°, Modus: 38° 2) 142° ist ein echter „Ausreißer“. Ein Schüler hat offensichtlich auf dem Winkelmesser den Winkel abgelesen, der 38° auf 180° ergänzt. 177 Das arithmetische Mittel ist ein Wert der Datenliste: manchmal Der Modus ist ein Wert der Datenliste: immer Der Median ist ein Wert der Datenliste: manchmal 178 Das arithmetische Mittel wird größer, Der Median bleibt gleich. Begründung: Wenn die Gesamtsumme um 100 größer wird, wird das arith- metische Mittel von 10 Zahlen um 10 größer. Die Anzahl der Zahlen ändert sich nicht, somit bleibt der Median gleich. 179 1) ‒ 1,6 °C 2) ‒ 6,2 °C 3) ‒ 3,9 °C 180 1) Häufigkeit Punktezahl absolut relativ prozentuell 3 5 ​ 5 __ 50 ​ 10% 2 18 ​ 18 __ 50 ​ 36% 1 19 ​ 19 __ 50 ​ 38% 0 8 ​ 8 __ 50 ​ 16% Summen 50 1 100% 2) 1. ​ _ x​ = ​ 3 + … + 3 + 2 + … + 2 + 1 + … + 1 + 0 + … + 0 _________________________ 50 ​ = 1,4 2. ​ _ x​ = ​ 3 · 5 + 2 · 18 + 1 · 19 + 0 · 8 _____________ 50 ​ = 1,4 3. ​ _ x​ = 3 ·​ 5 __ 50 ​ + 2 ·​ 18 __ 50 ​ + 1 ·​ 19 __ 50 ​ + 0 ·​ 8 __ 50 ​ = 1,4 181 a) Das arithmetische Mittel wird um 4 kleiner, weil 4 · 10 = 40 ist. b) Das arithmetische Mittel bleibt gleich, weil ​ 20 + 60 _____ 2 ​ = 40, ​ 25 + 55 _____ 2 ​ = 40 ist. 182 1) linkes Auge: Median = ‒ ​ 9 _ 8 ​; rechtes Auge: Median = ‒ ​ 11 __ 8 ​; Das linke Auge ist weniger fehlsichtig als das rechte. 2) beide Augen: Median = ‒ ​ 5 _ 4 ​ 183 1) Parterre: 9,29€, Balkon: 10,19€, Kino (gesamt): 9,49€ 2) Ein Gesamtdurchschnitt muss zwischen den Teildurchschnitten liegen. 184 Leon hat Recht. Wenn jede Karte 1) um 1€, 2) um 10% teurer wird, dann wird auch der Gesamtpreis um 1€ bzw. 10% und in der Folge auch der Durchschnittspreis um 1€ bzw. 10% teurer. Durchschnittspreise nach der Teuerung: Parterre: 10,29€ bzw. 10,22€; Balkon: 11,19€ bzw. 11, 21€; Kino: 10,49€ bzw. 10,44€ 185 21,0 2 Streumaße (Seiten 48, 49) 186 1C, 2F, 3D, 4B 187 a) Die 4A-Klasse hat einen Punktedurchschnitt von 18,1 Punkten, die 4B-Klasse von 17,1 Punkten. Die 4A-Klasse hat also im Durchschnitt mehr Punkte erzielt. b) Die 4B-Klasse hat eine geringere Standardabweichung von 3,15 im Vergleich zur Standardabweichung der 4A-Klasse von 3,58. Sie hat daher eine konstantere Leistung erbracht. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv