Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

6 Lösungen 3 Formeln (Seiten 25, 26) 106 a) x = 10p; Probe: 36p c) x = ‒ 2a; Probe: 10 a b) x = 2q; Probe: 15q d) x = b; Probe: 3b 107 Zu H passt keine der vier Formeln. I: E Die Länge des Rechtecks ist (x + z), die Breite y. II: F Die eine Seite des Rechtecks ist (a + b), die andere (c + d). III: G Die Länge des Rechtecks ist (q + r + s), die Breite p. IV: F Die eine Seite des Rechtecks ist (f + g), die andere (e + h). 108 a) Höhe im gleichseitigen Dreieck; a = ​ 2h __ ​ √ 3​ ​ b) Berechnung der Schenkellänge a im gleichschenkligen Dreieck; h = ​ √ ______ ​a​ 2 ​ – ​ ( ​ c _ 2 ​ ) ​ 2 ​​; c = 2 ·​ √ _____ ​a​ 2 ​ – ​h​ 2 ​​ c) Volumen der quadratischen Pyramide: h = ​ 3V __ ​a​ 2 ​ ​; a = ​ √ __ ​ 3V __ h ​​ 109 a) x = ab – 2,5 b) x = ​ √ _____ ​ 5 _ 3 ​b – ​ a _ 6 ​​ c) x = ​ 1 ___ 6 ab ​ 110 1) t = ​ √ ____ ​ h – ​ h​ 0 ​ ____ – 5 ​​ = ​ √ ____ ​ ​h​ 0 ​ – h ____ 5 ​​(​h​ 0 ​ > h) 2) nach ca. 1,34 Sekunden 111 1) 10m = 3 ​ m ​v​ 2 ​ ___ r ​ Die Masse m fällt bei Division weg. Unabhängig von der Masse ist der Auslenkwinkel bei allen Personen gleich. 2) v = ​ √ ___ ​ 10 r ___ 3 ​​ ≈ 4m/s bzw. 14,7km/h Merkenswertes (Seite 26) A Gleichungen und Ungleichungen Wenn wir eine Gleichung lösen, suchen wir für die Unbekannte jene Zahl, die die Gleichung erfüllt. „Eine Ungleichung in R lösen“ heißt, für die Variable jene reellen Zahlen zu ermitteln, die die Ungleichung erfüllen. Die lineare Gleichung a x + b = c hat für a ≠ 0 genau eine Lösung, die zugehörige lineare Ungleichung a x + b < c hat unendlich viele Lösungen. Bei Ungleichungen spricht man von einer Lösungsmenge L mit im Allgemeinen mehr als einem Element. Die Unbekannte in Gleichungen und der Bereich für die Variable in Ungleichungen mit einer Unbekannten kann durch sinnvolles Probieren, durch Rückgängigmachen der Rechenoperationen oder durch Äquivalenz­ umformungen ermittelt werden. Beachte aber: Beim Multiplizieren einer Un­ gleichung mit einer negativen Zahl bzw. beim Dividieren durch eine negative Zahl muss das Ungleichheitszeichen „umgedreht“ werden. B Formeln Durch Umformen von Formeln kann man eine Variable (zB x) durch die anderen Variablen ausdrücken. Diese Variable wird dann explizit ausgedrückt. Bei der Berechnung von x werden dann die anderen Variablen als konstante Zahlen betrachtet. Lösungstext: „Nicht alles, was gezählt werden kann, zählt.“ (Albert Einstein) D Funktionen 1 Einführung von Funktionen (Seite 27) 112 a) Es handelt sich um eine Funktion, zB: f (Wurst) = 2,50€, oder f (Hühnerfleisch) = 3,10€ b) Es handelt sich nicht um eine Funktion, weil zB Flora zwei Hobbys hat. c) Es handelt sich um eine Funktion, zB: h (Flora) = 3. November oder h (Phillip) = 21. Dezember 113 f (Nachname) = Vorname f (Mahler) = Gustav f (Vivaldi) = Antonio f (Bach) = Johann Sebastian f (Strauss) = Richard f (Mozart) = Wolfgang Amadeus 114 a) Es handelt sich um eine Funktion, weil jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet ist! b) Es handelt sich nicht um eine Funktion, weil dem x-Wert 1 die y-Werte 0 und 7 zugeordnet sind. c) Es handelt sich um eine Funktion, weil jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet ist! d) Es handelt sich nicht um eine Funktion, weil dem x-Wert 0 kein y-Wert zugeordnet ist. 115 1) Abbildungen B und C zeigen den Graph einer Funktion. 2) A und D sind keine Funktionsgraphen, weil es x-Werte gibt, denen mehrere y-Werte zugeordnet sind. 2 Darstellungsarten von Funktionen (Seiten 28, 29, 30) 116 a) x ‒ 2 ‒ 1 0 1 2 3 f (x) 2 2,5 3 3,5 4 4,5 b) 0 f(x) 2 4 1 3 5 x 1 -5 -4 -3 -2 -1 2 4 5 3 ZB: A = ( ‒ 4 1 1), B = ( ‒ 3 1 1,5), C = (4 1 5) c) x ‒ 2 ‒ 1 0 1 2 3 4 5 6 f (x) 1 2 2 0 ‒ 0,5 ‒ 1 0,5 2 5 g (x) 4 4 3 2 2 2 3 4 5 117 t 0 2 5 6 12 15 20 g (t) 1200 1000 800 800 600 400 0 zB: Carla legt in den ersten beiden Minuten einen Weg von 200m zurück. Für die nächsten 200m braucht sie 3 Minuten. Nach einer einminütigen Wartezeit an einer Kreuzung braucht sie für die folgenden 200m 6 Minuten. Nun eilt sie in 8 Minuten zur 600 Meter entfernten Schule. 118 B, E 119 ZB ‒ 10 ‒ 5 0 3 7 a) ‒ 32 ‒ 17 ‒ 2 7 19 b) 21 11 1 ‒ 5 ‒ 13 c) 98 23 ‒ 2 7 47 d) ‒ 199 ‒ 49 1 ‒ 17 ‒ 97 120 1-A, 2-C, 3-B 121 a) 1C, 2A, 3CD, 4B, 5D, 6ABC, 7B, 8A b) Das ist nicht möglich, weil die Regentonne bereits um 23:00 Uhr voll ist. 122 Der Aufzug steht 4 Sekunden lang im 3. Stockwerk. Dann fährt er in 2 s aufwärts in den 4. Stock, wo er 1 s lang steht. Anschließend fährt er mit der gleichen Geschwindigkeit wie vorher ohne stehen zu bleiben 4 s lang auf- wärts in den 6. Stock. Dort steht er 5 s lang, um danach 8 s lang abwärts in den 1. Stock zu fahren. Im 1. Stock steht er dann. 123 1) 5 10 15 20 25 30 t (in s) 0 50 100 150 200 250 300 350 h (in m) 2) In 5 s sinkt der Fallschirm um 20m. h (t) = 330 – 4 t 3) Der Fallschirmspringer erreicht nach ca. 57s eine Höhe von 100m. 124 a) b) 0 y x 1 5 -1 1 5 -1 -5 g 3 f 3 f 1 g 1 g 2 f 2 ZB x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) g 1 (x) g 2 (x) g 3 (x) ‒ 5 ‒ 2,5 ‒ 7,5 7,5 ‒ 3 ‒ 7 7 ‒ 3 ‒ 1,5 ‒ 4,5 4,5 ‒ 1 ‒ 5 5 ‒ 2 ‒ 1 ‒ 3 3 0 ‒ 4 4 ‒ 1 ‒ 0,5 ‒ 1,5 1,5 1 ‒ 3 3 0 0 0 0 2 ‒ 2 2 1 0,5 1,5 ‒ 1,5 3 ‒ 1 1 2 1 3 ‒ 3 4 0 0 5 2,5 7,5 ‒ 7,5 7 3 ‒ 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv