Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

5 Lösungen 81 a) x 2 + x y – x y + y 2 _________ 4 xy = x 2 + y 2 ____ 4 x y ; x ≠ 0, y ≠ 0 b) 5 z – 15 – 4 + 4 z _________ 3 (2 z – 3) = 9 z – 19 ______ 3 (2 z – 3) ; z ≠ 3 _ 2 c) 5u – 8 – 18u + 30 __________ 7 (2 – u) = ‒ 13u + 22 ______ 7 (2 – u) ; u ≠ 2 d) x – 1 – x _____ x (x – 1) = ‒ 1 _____ x (x – 1) ; x ≠ 0; 1 e) 9 a – 16 a + 12 a _________ 3 · 4 (a – 1) = 5 a _____ 12 (a – 1) ; a ≠ 1 f) 9 z 2 + 24 – 9 z 2 + 15 z – 4 _____________ 3 (3 z – 4)(3 z + 4) = 5 (3 z + 4) __________ 3 (3 z – 4)(3 z + 4) = 5 ______ 3 (3 z – 4) ; z ≠ 4 _ 3 , ‒ 4 _ 3 82 a) ‒ 3 x y ____ 2 ; x ≠ 0, y ≠ 0 d) 1 __ 4 z ; z ≠ 0, v ≠ 0 b) (y – 1)(y – 3) _______ 3 ; y ≠ ‒ 1, ‒ 3 e) 4 (z + 3) _______ (z – 3)(z – 2) ; z ≠ 2, 3, ‒ 3 c) x 2 – 25 ____ 2 x 2 ; x ≠ 0; ‒ 5 f) a 2 __ 4 – 4 __ b 2 ; b ≠ 0 83 a) 5 _ 6 ; a ≠ 0 c) z (1 – z); z ≠ 0, ‒ 1 b) 5 ___ 14 ab ; a ≠ 0, b ≠ 0 d) 27v 2 (v – 3); v ≠ 0, ‒ 3 84 a) ‒ b (a – b) ______ a ; a, b ≠ 0; a ≠ ± b b) a + 2b ____ 2 ; a, b ≠ 0; a ≠ 2b Merkenswertes (Seite 21) A Eigenschaften von Termen Herausheben und Ausmultiplizieren von Termen sind entgegengesetzte Rechen operationen. Durch Herausheben bzw. Zerlegen wird aus einer Summe (Diffe- renz) ein Produkt, umgekehrt wird durch Ausmultiplizieren aus dem Produkt eine Summe (Differenz). Die binomischen Formeln gelten in beide Richtungen. (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a – b) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 (a – b) 3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 ab 2 – b 3 B Bruchterme Für das Rechnen mit Bruchtermen gelten dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit Brüchen: Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner gleich lässt. Bruchterme mit verschiedenen Nennern bringt man auf gleichen Nenner. Bruchterme werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Sie werden dividiert, indem man den ersten Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert. Vor dem Ausmultiplizieren muss man Zähler und Nenner durch Zerlegen bzw. Herausheben und Kürzen vereinfachen. Lösung: GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ C Gleichungen, Ungleichungen und Formeln 1 Gleichungen (Seiten 22, 23) 85 a) 2 x – 3 = x _ 5 + 15 | + 3 c) x _ 4 – 5 – 2 x ____ 3 + 4 = 3 x __ 2 | · 12 2 x = x _ 5 + 18 | ‒ x _ 5 3 x – 20 + 8 x + 48 = 18 x | ‒ 11 x 9 x __ 5 = 18 | · 5 _ 9 28 = 7x | : 7 x = 10 Probe: 17 x = 4 Probe: 6 b) 7 – y + 1 ___ 4 = ‒ y | · 4 d) y + 2 ___ 3 – y – 2 ___ 6 = 9 _ 2 – y _ 4 | · 12 28 – (y + 1) = ‒ 4 y | – 27 + 4 y 4 y + 8 – 2 y + 4 = 54 – 3 y | + 3 y – 12 3 y = ‒ 27 | : 3 5 y = 42 | : 5 y = ‒ 9 Probe: 9 y = 8,4 Probe: 2,4 86 1C, 2D, 3A, 4F 87 a) a = ‒ 1; Probe: ‒ 46 c) c = 1; Probe: 14 b) b = 2; Probe: ‒ 29 d) d = 1; Probe: 10 88 3 x – 13 = x _ 3 + 11; x = 9; ja: Die Zahl lautet 9 . 89 x – 3 ___ 2 = x _ 4 + 3,25; x = 19: ja: Die Zahl lautet 19 . 90 50 x – 25 (18 – x) = 600 Felix löste 14 Aufgaben richtig, 4 Aufgaben hatte er falsch. 91 0,45 x – 6 500 = 0,125 x; 1.Preis: 9 000€, 2. Preis: 5 000€, 3. Preis: 3 000€, 4. Preis: 3 000€. 92 (c – 2)(c – 4) _______ 2 = c 2 __ 2 – 20 Seite: 8 cm, Höhe: 8 cm 93 (h + 0,5) · 35 = h · 24 + 56; Höhe des größeren Aquariums: 4dm = 40 cm, Höhe des kleineren Aquariums: 3,5dm = 35 cm 94 2 · A Trapez + 2 · A Dreieck = 150 6 (x + 8 + x) + 6 · 7 = 150 12 x + 48 + 42 = 150 12 x = 60 x = 5 ➞ A = 13 · 7 = 91m 2 95 a) a ≠ 0; a = 2; Probe: 3 _ 2 c) x ≠ 0, ‒ 4; x = 12; Probe: 1 __ 12 b) b ≠ 1; b = ‒ 2; Probe: ‒ 3 d) y ≠ 0, ‒ 1, ‒ 4; y = 2; Probe: 2 _ 3 96 a) Nenner gemeinsamer Nenner Erweiterungsfaktoren 6 x 2 – 2 x = 2 x (3 x – 1) 1 3 x – 1 2 x (3 x – 1) 2 x x x ≠ 0, 1 _ 3 2 (3 x – 1) 5 x – 3 – 6 x 2 – 10 x = ‒ 6 x 2 – 4 x + 2 Probe: linke Seite: ‒ 4 __ 5 ; rechte Seite: ‒ 4 __ 5 ‒ 5 x – 3 = ‒ 4 x + 2 ‒ x = 5 x = ‒ 5 b) Nenner gemeinsamer Nenner Erweiterungsfaktoren 3 y – 6 = 3 (y – 2) 2 y (y + 2) 6 y 2 + 12 y = 6 y (y + 2) 6 y (y – 2)(y + 2) (y – 2) 3 y 2 – 12 = 3 (y 2 – 4) = = 3 (y – 2)(y + 2) y ≠ 0, 2, ‒ 2 2 y 2 y (3 y – 1)(y + 2) – (10 y + 3)(y – 2) ___________________ 6 y (y – 2)(y + 2) = 2 y (3 y 2 + 7) _________ 6 y (y – 2)(y + 2) 2 y (3 y – 1)(y + 2) – (10 y + 3)(y – 2) = 2 y (3 y 2 + 7) 6 y 3 + 10 y 2 – 4 y – 10 y 2 + 17y + 6 = 6 y 3 + 14 y Probe: linke Seite: 115 __ 96 ; rechte Seite: 115 __ 96 13 y + 6 = 14 y y = 6 2 Ungleichungen (Seiten 24, 25) 97 a) a ≥ ‒ 2; L = {a * ℝ 1 a ≥ ‒ 2} d) d ≤ ‒ 16; L = {d * ℝ 1 d ≤ ‒ 16} b) b > 6; L = {b * ℝ 1 b > 6} e) e ≤ 10; L = {e * ℝ 1 e ≤ 10} c) c ≤ 9 _ 4 ; L = { c * ℝ 1 c ≤ 9 _ 4 } f) f > 4,5; L = {f * ℝ 1 f > 4,5} 98 a) L = {x * ℝ 1 x < 17} 10 17 0 20 zB: x = 15: 78 < 80 w. A. x = 20: 108 < 105 f. A. b) L = { y * ℝ 1 y > ‒ 1 _ 3 } 1 -1 0 2 1 3 – zB: y = 0: 1 < 9 w. A. y = ‒ 1: 17 < 1 f. A. c) L = { z * ℝ 1 z > ‒ 1 _ 7 } 1 -1 0 2 1 7 – zB: z = 0: 5 < 6 w. A. z = ‒ 1: 15 < 9 f. A. d) L = {x * ℝ 1 x < 2,25} 1 0 2,25 zB: x = 2: 3 _ 4 < 5 _ 6 w. A. x = 3: 5 _ 4 < 1 f. A. 99 ZB: 2 x > 3 x – 4; L = {x * ℝ 1 x < 4}; Die Zahl ist kleiner als 4. 100 ZB: x _ 3 + 10 > 2 x – 1; L = {x * ℝ 1 x < 6,6}; Die Zahl ist kleiner als 6,6. 101 ZB: 1,2 + 0,12 x < 3,7; L = {x * ℝ 1 x < 20,84}; höchstens 20 Balken 102 ZB: 9 · 0,15 x ≥ 35; L = {x * ℝ 1 x ≥ 25,93}; mindestens 26 Bücher 103 ZB: a) 150 + 1,28 x ≤ 220; L = {x * ℝ 1 x ≤ 54,7} a) höchstens 54 Liter. b) 110 + 0,4 x ≤ 220; L = {x * ℝ 1 x ≤ 275} b) höchstens 275 kWh 104 A2; B4; C5; D8 105 Samira hat in der 2. Äquivalenzumformung das Ungleichheitszeichen bei der Subtraktion umgedrehrt. Dies erfolgt nur bei Multiplikation bzw. Divisi- on mit einer negativen Zahl – sonst nicht! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv