Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

4 Lösungen B Terme 1 Eigenschaften von Termen (Seiten 16–19) 57 Streichhölzer 1. Figur 3 2. Figur 3 + 2 = 5 3. Figur 3 + 2 · 2 = 7 4. Figur 3 + 3 · 2 = 9 5. Figur 3 + 4 · 2 = 11 6. Figur 3 + 5 · 2 = 13 50. Figur 1 + 49 · 2 = 99 n-te Figur 3 + (n – 1) 2 = 1 + 2n Zu einem „Anfangsstreichholz“ legt sie in jeder Figur zwei dazu. 58 1) a) 300 e) 273 b) 150 f) 1 500 c) 30 g) 20 d) 15 h) ‒ 3 2) a) 4 e) 1 b) ‒ 10 f) 3 c) 24 g) 52 d) ‒ 18 h) 32,3 3) a) 12,2 e) 42 b) 2,3 f) ‒ 0,9 c) 19,9 g) 4,0 d) ‒ 5,7 h) 0,3 59 a) 4 x + 3 x; b) 5 x – 7x; c) (2 x + 3x ) · 3; d) x __ 17 – x _ 2 60 a) Zum Dreifachen einer Zahl wird das Sechsfache der Zahl addiert. b) Zum Doppelten einer Zahl wird eine andere Zahl addiert. c) Die Summe zweier Zahlen wird verdreifacht. d) Man verdreifacht die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl und einer anderen Zahl. 61 a) 34b Zeichen auf einer Seite; b) 34 ab Zeichen im Buch 62 a) V = a 3 + a 2 b; b) V = 3 ab c + 2 ab 2 63 1. Zeile: (x + 4) + 4 x + (4 x + 5) = 9 x + 9 2. Zeile: (6 x + 4) + (3 x + 3) + 2 = 9 x + 9 3. Zeile: (2 x + 1) + (2 x + 6) + (5 x + 2) = 9 x + 9 1. Spalte: (x + 4) + (6 x + 4) + (2 x + 1) = 9 x + 9 2. Spalte: 4 x + (3 x + 3) + (2 x + 6) = 9 x + 9 3. Spalte: (4 x + 5) + 2 + (5 x + 2) = 9 x + 9 1. Diagonale: (x + 4) + (3 x + 3) + (5 x + 2) = 9 x + 9 2. Diagonale: (2 x + 1) + (3 x + 3) + (4 x + 5) = 9 x + 9 64 a) x + y x – y – z x + z x – y + z x x + y – z x – z x + y + z x – y b) a a – 5 a + 2 a + 1 a – 1 a – 3 a – 4 a + 3 a – 2 65 a) 7x 2 – [5 x – (9 x + 11 x 2 )] + 5 x 2 = c) g 3 – 2 · ( g 2 + g 3 ) – 5 · 3 g 2 = 7x 2 – (5 x – 9 x – 11 x 2 ) + 5 x 2 = g 3 – (2g 2 + 2g 3 ) – 15 g 2 = 7x 2 – ( ‒ 4 x – 11 x 2 ) + 5 x 2 = g 3 – 2g 2 – 2g 3 – 15 g 2 = 23 x 2 + 4 x ‒ g 3 – 17 g 2 b) (7y – 3 y 2 ) · ( ‒ 2 y ) + 15 y 2 – y 3 = d) 4 f² · ( 3 f – 7 ) + 4 f 3 – 9 f 2 + 2 f³ = ‒ 14 y 2 + 6 y 3 + 15 y 2 – y 3 = 12 f 3 – 28 f 2 + 6 f³ – 9 f  2 = 5 y 3 + 1 y 2 18 f³ – 37 f² 66 a) 3 x 2 – 5 x _____ 6 – 11 x 2 + 2 x ______ 9 = (kgV(6, 9) = 18) b) 7x – 8 x 2 _____ 12 + 6 x – x 2 ____ 18 = (kgV(12, 18) = 36) 3 · (3 x 2 – 5 x) – 2 · (11 x 2 + 2 x) ________________ 18 = 3 · (7x – 8 x 2 ) + 2 · (6x –  x 2 ) ______________ 36 = 9 x 2 – 15 x – 22 x 2 – 4 x ____________ 18 = ‒ 13 x 2 – 19 x ______ 18 21 x – 24 x 2 + 12 x – 2 x 2 _____________ 36 = ‒ 26 x 2 + 33 x _______ 36 67 ☼ ◆ ♥  1) (2 x + ☼ ) 2 = ◆ + 28 xy + ♥ 7y L 4 x 2 R 49 y 2 T 2) ( ☼ – ◆ ) 2 = 9 x 4 – ♥ + y 4 3 x 2 H y 2 I 6 x 2 y 2 3) ( ☼ + 13 y) 2 = ◆ + 78 xy + ♥ 3 x D 9 x 2 N 169 y 2 E 4) (2 x + ☼ ) 3 = ◆ + ♥ +  + y 3 y E 8 x 3 D 12 x 2 y S 6 x y 2 E 5) ( ☼ + ◆ )( ☼ – 10 y) = 25 x 2 – ♥ 5 x E 10 y E 100 y 2 G 6) ( ☼ + 5 x) 2 = ◆ + 70 x + ♥ 7 N 49 O 25 x 2 , 7) (6 x 2 – ☼ ) 2 = ◆ – 48 x 2 + ♥ 4 M 36 x 4 A 16 S 8) (9 x + ☼ )( ◆ – ☼ ) = ♥ – 9 y 2 3 y N 9 x N 81 x 2 N 9) ( ☼ – ◆ ) 3 = x 3 – 15 x 2 + ♥ –  x L 5 A 75 x K 125 L 10) (9 x 2 + ☼ ) 2 = ◆ + 108 x 2 y 2 + ♥ 6 y 2 H 81 x 4 C 36 y 4 T 11) (6 x 2 – ☼ )( ◆ + 5 y 2 ) = 36 x 4 – ♥ 5 y 2 C 6 x 2 E 25 y 4 H Lösungstext: MAN SOLL DENKEN LEHREN, NICHT GEDACHTES! (Cornelius Gurlitt) 68 a) (a – 9) 2 ; b) (b + 1,5) 2 ; c) ( 2 y – 1 _ 2 ) 2 ; d) (2 x + 3 y) 2 ; e) ( 3u – 1 _ 6 v ) 2 ; f) (0,4 s + 5 t) 2 69 a) 5 x (x + 2 y) f) 3 ab (3 – 2 ab) b) 2 a 2 (4 a + 3b) g) 4 x (x 2 – 2) c) x y (4 x + 3 y) h) 7a 2 (2 a + 3) d) 12 (a – 3b + 7c) i) a (x – y + 9) e) y (6 x + 3 y – 5 y 2 ) j) x (a x 3 + b x 2 + c) 70 a) 5 ab – 2 a + 25b 2 – 10b Probe (zB: a = 1, b = 2): 88 b) ‒ 6 x 2 + 14 x y – 8 y 2 Probe (zB: x = 1, y = 2): ‒ 6 71 a) (4 x – 7y)(4 x + 7y) c) (12 a – 10b)(12 a + 10b) b) ( 2 _ 3 u – 3w ) ( 2 _ 3 u + 3w ) d) ( e _ 2 – 4 f __ 5 ) ( e _ 2 + 4 f __ 5 ) 72 a) 3 x y y 2 9 x 2 3 x y b) 6 ab 9 a 2 4b 2 6 ab (3 x + y) 2 = 9 x 2 + 6 x y + y 2 ( 3 a + 2b) 2 = 9 a 2 + 12 ab + 4b 2 c) 4 r 2 10 r s 10 r s 25 s 2 (2 r + 5 s) 2 = 4 r 2 + 20 r s + 25 s 2 73 Term Summe Differenz Produkt Quotient 5 y – 10 x ___ 3 5 ( y – 2 x __ 3 ) 10 x ___ 3u (a + b) (a – b) 2 Bruchterme (Seiten 19, 20, 21) 74 a) 3 ___ 5 a 2 ; a ≠ 0 d) 1 ___ 13 s ; s ≠ 0 b) 8 x __ 7y ; x ≠ 0, y ≠ 0 e) 1 _ 4 ; u ≠ 0 c) z _ 3 ; z ≠ 0 f) w __ 7v ; v ≠ 0, w ≠ 0 75 b) 2 x – 7 ≠ 0 ➞ x ≠ 3,5 1) x ≠ 3,5; 2) Term für alle reellen Zahlen x ≠ 3,5 definiert. D = ℝ \{3,5} c) 8 + 5 x ≠ 0 ➞ x ≠ ‒ 1,6 1) x ≠ ‒ 1,6; 2) Term für alle reellen Zahlen x ≠ ‒ 1,6 definiert. D = ℝ \{ ‒ 1,6} 76 a) 4 (2 x – y) ______ 16 x = 2 x – y ____ 4 x ; x ≠ 0 c) (2 x – y)(2 x + y) _________ 3 (2 x + y) = 2 x – y ____ 3 ; x ≠ ‒ y _ 2 , y ≠ ‒ 2 x b) 2 (3u – 2u) _______ 112 v = 3u – 2 v _____ 56 v ; v ≠ 0 d) 3 (y – 5)(y + 5) ________ 4 (y – 5) = 3 (y + 5) _____ 4 ; y ≠ 5 e) 2 z (z – 4)(z + 4) _________ 6 z (z + 4) = z – 4 ___ 3 ; z ≠ 0, ‒ 4 f) 2 ab (3 a – 5b) ________ 30 ab = 3 a – 5b _____ 15 ; a ≠ 0, b ≠ 0 g) 6 s (2 s – 3 t) _______ 3 s t = 2 (2 s – 3 t) ______ t ; s ≠ 0, t ≠ 0 77 Fehler: Paul hat beide Faktoren des Zählers durch 4 dividiert; richtiges Ergebnis: 6 (x 2 – 2 y) ______ x 78 a) x + 5 ___ x – 5 = (x + 5) 2 ________ (x – 5) · (x + 5) = x 2 + 10 x + 25 ________ x 2 – 25 b) 2 x – 1 ____ x + 5 = (2 x – 1)(x + 5) ________ ( x + 5 ) · (x + 5) = 2 x 2 + 9 x – 5 ________ x 2 + 10 x + 25 79 a) 3x 2x - 1 4x 2x + 1 8x 2x + 1 7x 2x - 1 30x 2 -x 4x 2 - 1 22x 2 -5x 4x 2 - 1 52x 2 -6x 4x 2 - 1 36x 2 -6x 4x 2 - 1 88x 2 -12x 4x 2 - 1 14x 2 -x 4x 2 - 1 b) 3 a + b 8 a - b 4 a - b 7 a + b 11a-3b a 2 - b 2 18a-2b a 2 - b 2 36a+4b a 2 - b 2 18a+6b a 2 - b 2 7a+b a 2 - b 2 11a+5b a 2 - b 2 80 1 _____ u 2 + 3u – 2 ____ u 2 – 9 – 1 _____ u 2 – 3u = u – 3 – 2 · u – (u + 3) ___________ u · ( u – 3 ) · (u + 3) = ‒2u – 6 __________ u · ( u – 3 ) · (u + 3) u ≠ 0, u ≠ 3 und u ≠ ‒ 3 12 21,1 ‒ 18 20 900 2,3 7 24 15 1 4 450 17,7 ‒ 3 30 3 1 500 52 90 19 ‒ 5,7 14 16 300 ‒ 10 150 19,9 0,3 6 2 2,3 4,0 12,2 ‒ 0,9 273 7,7 1,3 32,3 400 14,2 8,6 42 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv