Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

3 Lösungen 41 a) √ ___ 4 · 2 = 2 · √ _ 2 d) √ ___ 9 · 5 = 3 · √ _ 5 g) √ ____ 49 · 2 = 7 · √ _ 2 b) √ ___ 9 · 3 = 3 · √ _ 3 e) √ ____ 25 · 2 = 5 · √ _ 2 h) √ ____ 36 · 3 = 6 · √ _ 3 c) √ ____ 16 · 2 = 4 · √ _ 2 f) √ ____ 36 · 2 = 6 · √ _ 2 42 a) y · √ _ 5 c) a 2 · √ __ 10 e) 2 a √ _ 2 g) 5 ab √ _ 2 b) z · √ _ 3 d) 5 · √ __ b f) 6b √ __ a h) 4 a √ ___ 2b 2 Kubikwurzel (Seite 12) 43 a) 3 √ __ 64 = 4, weil 4 3 = 64 ist. b) 3 √ ____ 8 000 = 20, weil 20 3 = 8 000 ist. 44 a) 2 < 3 √ ___ 20 < 3, weil 2 3 = 8, 3 3 = 27 b) 4 < 3 √ ___ 100 < 5, weil 4 3 = 64, 5 3 = 125 c) 5 < 3 √ ___ 200 < 6, weil 5 3 = 125, 6 3 = 216 d) 7 < 3 √ ___ 400 < 8, weil 7 3 = 343, 8 3 = 512 45 a) 3 √ _ 8 = 2 b) 3 √ ___ 125 = 5 c) 3 √ __ 64 = 4 d) 3 √ ___ 2,7 ≈ 1,39 3 √ ___ 0,8 ≈ 0,93 3 √ ___ 12,5 ≈ 2,32 3 √ ___ 640 ≈ 8,62 3 √ ___ 0,27 ≈ 0,65 3 √ ___ 0,08 ≈ 0,43 3 √ ___ 1,25 ≈ 1,08 3 √ ____ 6400 ≈ 18,57 3 √ ____ 0,027 = 0,3 3 √ ____ 0,008 = 0,2 3 √ ____ 0,125 = 0,5 3 √ _____ 64 000 = 40 3 √ _____ 0,0027 ≈ 0,14 Endliche Dezimalzahlen erhält man beim 1000-fachen bzw. bei einem Tausendstel von Kubikzahlen. 46 1) D 2) berechnet: V = m __ ρ = 153,6 ___ 300 m 3 = 0,512m 3 = 512dm 3 ➞ s = 3 √ ___ 512dm = 8dm 3 Reelle Zahlen und Zahlenbereiche (Seiten 12, 13) 47 C 48 a) Q N R Z I b) Rationale Zahlen lassen sich im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen in Bruchform schreiben. Rationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen oder periodische Dezimalzahlen; irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen ohne Periode. 49 Zahl ℕ ℤ ℚ ℝ I 3 √ __ 64 2,5 · 10 5 π 13 0,143143… 1,010010001… ‒ 2,5 · 10 1 √ __ 27 20% 50 richtig: A, C, D, F, H, I, L, M, N ; falsch: B, E, G, J, K, O, P, Q, R Lösungstext: IM*PRATER*BLUEHEN*WIEDER*DIE*BAEUME! 4 Intervalle (Seite 14) 51 a) [ ‒ 4; 2) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 b) ( ‒ 1; 4) -2 -1 0 1 2 3 4 5 c) [ ‒ 3; 3] -3 -2 -1 0 1 2 3 4 52 a) [ ‒ 10; 10], ‒ 10 ≤ x ≤ 10 b) ( ‒ 3; 5], ‒ 3 < x ≤ 5,5 53 a) 0 ≤ x ≤ 3 b) y ≤ 1 c) z ≥ 5 5 Darstellung von Quadratwurzeln (Seite 14) 54 a) 12 = 16 – 4 c) 21 = 25 – 4 e) 34 = 25 + 9 g) 48 = 49 – 1 b) 13 = 9 + 4 d) 29 = 25 + 4 f) 35 = 36 – 1 h) 68 = 64 + 4 55 a) ZB: √ ____ 4 + 1 b) ZB: √ ____ 9 + 9 √5 2 1 √18 3 3 56 a) √20 4 2 20 = 16 + 4 √ __ 20 ≈ 4,472 b) √41 5 4 41 = 25 + 16 √ __ 41 ≈ 6,403 c) √33 7 4 33 = 49 – 16 √ __ 33 ≈ 5,745 Merkenswertes (Seite 15) A Reelle Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen ℚ und die Menge der irrationalen Zahlen I ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen ℝ . Zu den irrationalen Zahlen zählen viele Wurzeln, wie √ _ 2, √ _ 3, 3 √ _ 2,… aber auch die Zahl π und unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, wie 0,010011000111… . Rationale Zahlen lassen sich in Bruchform schreiben, irrationale nicht. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Die ganzen Zahlen ℤ sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen ℚ ; die natürlichen Zahlen ℕ sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen ℤ . Im Bereich der rationalen Zahlen ℚ lassen sich alle Rechenoperationen durch führen, mit Ausnahme der Division durch Null. Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für das Rechnen mit rationalen Zahlen. B Quadratwurzel Für nicht negative Zahlen ist das (Quadrat-)Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens. Die Zahl x ≥ 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl a ≥ 0, wenn x 2 = a ist. Die Quadratwurzel aus a ist nur dann sinnvoll, wenn a größer oder gleich null ist. Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie das Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Oft können Radikanden als Summe oder als Differenz von Quadratzahlen geschrieben werden. Damit lassen sich irrationale Zahlen als Streckenlängen konstruktiv ermitteln und als Punkte auf der Zahlengeraden darstellen. Mit den irrationalen Zahlen ist die Zahlengerade vollständig gefüllt. C Kubikwurzel Das Berechnen von Kubikwurzeln heißt Kubikwurzelziehen. Eine Zahl heißt Kubikzahl, wenn sie die 3. Potenz einer natürlichen Zahl ist. Lösungstext: Man lernt Mathematik nicht, man gewöhnt sich nur daran. (Paul Erdós, ungarischer Mathematiker) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv