Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

68 Berechnungen bei Prismen und Pyramiden I Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide ( = quadratische Pyramide) kennt man die Grundkante a = 4,8 cm und die Pyramidenhöhe h = 4,5 cm. Berechne a) den Rauminhalt, b) die Seitenflächenhöhe h 1 , c) die Oberfläche und d) die Länge der Seitenkante s! a) Die Formel für den Rauminhalt (das Volumen) der Pyramide lautet V = ​ G · h ___ 3 ​, wobei für die Grundfläche gilt G = . Setze ein und rechne: G = cm 2 ➞ V = cm 3 b) Die Höhe h 1 der Seitenfläche kannst du aus dem rechtwinkligen Dreieck SFE ermitteln ( ➞ Figur). Es gilt: h 1 2 = Setze ein und rechne: h 1 = cm c) Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M zusammen. Der Mantel besteht aus vier Dreiecken. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks kann durch A = berechnet werden. Setze ein und rechne: A = cm 2 ➞ M = cm 2 ➞ O = cm 2 d) Die Länge der Seitenkante s kannst du zB mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks ECS ermitteln ( ➞ Figur). Es gilt s 2 = . Setze ein und rechne: s = cm In einem Garten soll eine Skulptur aus Granitstein aufgestellt werden. Sie hat die Form einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 45 cm und der Höhe h = 84 cm. a) Die Behandlung des Steins wird nach der Größe der Oberfläche abgerechnet. Sie kostet pro Quadrat- meter 560€. Berechne die Kosten! Kosten: € b) Kann die Skulptur mit dem Auto (maximale Zuladung 480 kg) transportiert werden? Berechne ihre Masse (Granitstein: ρ = 2700 kg\m³)! m = kg Antwort: Ein Turm hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Das Turmdach ist eine quadratische Pyramide. Wie groß sind a) die Dachfläche und b) der Rauminhalt dieser Pyramide, wenn die Seitenkanten des Daches s = 16,5m und die Seitenflächenhöhe h 1 = 13,2m lang sind? a) Die Dachfläche entspricht der Mantelfläche M der Pyramide. Um ihren Flächeninhalt berechnen zu können, benötigt man die Länge der Grund- kante a der Pyramide. Diese kannst du mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks ECS ermitteln ( ➞ Figur oben). Es gilt ​ ( ​ a _ 2 ​ ) ​ 2 ​ = . Setze ein und berechne a: a = m M = 4 ·​ a ·​ h​ 1 ​ ___ 2 ​ ➞ M = m 2 Die Dachfläche ist rund m 2 groß. b) Für den Rauminhalt ( = Volumen) benötigt man die Körperhöhe h der Pyramide. Diese kannst du zB mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks FES ermitteln ( ➞ Figur oben): h 2 = ➞ h = m Aus V = ​ G · h ___ 3 ​folgt, dass der Rauminhalt der Pyramide rund m 3 groß ist. Ein pyramidenförmiger Komposter soll 450 Liter fassen. Wie lang müssen die Kanten der quadratischen Grundfläche sein, wenn die Höhe genau einen Meter betragen soll? cm a s A B C E S D h F h 1 a 2 a 2 268 D A O I 269 D A O I Reschenstausee, Südtirol, Italien 270 D A O I 271 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv