Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

64 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren H 3 Beweise für den Satz des Pythagoras 4 Katheten- und Höhensatz Schneide acht kongruente rechtwinklige Dreiecke aus (Katheten a, b, Hypotenuse c)! Zeichne dann zwei quadratische Rahmen mit der Seitenlänge (a + b) und lege in jedem dieser Rahmen vier der Dreiecke so wie rechts abgebildet auf! Wie groß sind die Flächeninhalte der beiden freibleibenden Quadrate inner- halb des oberen Rahmens? A 1 = , A 2 = Begründe: Das freibleibende Viereck im unteren Rahmen ist ebenfalls ein Quadrat, weil Für seinen Flächeninhalt gilt: A 3 = Daraus folgt unmittelbar der Satz des Pythagoras, weil 1) Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck ( γ = 90°) mit den Seiten a, b und c! 2) Errichte ein Quadrat mit der Hypotenuse c als Seite ( ➞ Figur)! 3) Zeichne in dieses Quadrat das rechtwinklige Dreieck noch dreimal ein ( ➞ Figur)! Warum passt dies genau in die Ecken des Quadrats? 4) Begründe, dass das im Inneren entstehende grüne Viereck ein Quadrat ist! Wie groß ist der Flächeninhalt ​A​ 1 ​? 5) Benenne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit ​A​ 2 ​und den des großen Quadrats mit ​A​ 3 ​! Setze ein: ​A​ 3 ​ = + ! 6) Beweise durch Einsetzen und Umformen, dass a 2 + b 2 = c 2 gilt! Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC ( γ = 90°) kennt man die Längen der Kathete a = 58,5 cm und des Hypotenusenabschnitts p = 35,1 cm. Berechne die Längen der Seiten b und c! Verwende den Kathetensatz: a 2 = Forme um: c = Setze ein und rechne: c = cm Nach dem Satz des Pythagoras gilt: b 2 = Daraus folgt b = cm Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC ( γ = 90°) kennt man die Längen der Hypotenusenabschnitte p = 20,8 cm und q = 11,7cm. Berechne die Höhe h = h c und die Längen der drei Seiten! Verwende den Höhensatz: h 2 = Setze ein und rechne: h = cm Aus c = p + q folgt c = cm. Um a und b zu berechnen, kannst du zB den Kathetensatz verwenden: Aus a 2 = folgt a = cm, aus b 2 = folgt b = cm. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem Satz des Pythagoras! Setze zunächst für a und b ein: a 2 + b 2 = Setze dann für c ein: c 2 = Die beiden Werte müssen übereinstimmen. a a b b A 1 A 2 a a b b A 3 254 D A O I a c b a c b a c b a c b A 2 A 1 A 3 255 D A O I A D c a b q p h B C 256 D A O I 257 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv