Das ist Mathematik 3, Arbeitsheft

74 Ähnlichkeit L Von einem Dreieck A 1 B 1 C 1 kennt man die Seitenlängen a 1 = 42mm, b 1 = 48mm und c 1 = 66mm. Ein dazu ähnliches Dreieck A 2 B 2 C 2 hat die Seitenlänge a 2 = 35mm. a) Wie lang sind die Seiten b 2 und c 2 ? Überlege: b 2  b 1 = c 2  c 1 = a 2  a 1 Vereinfache zunächst: a 2  a 1 = 35  42 =  Berechne dann b 2 : b 2  48 =  w b 2 = mm Für c 2 gilt: c 2  =  w c 2 = mm b) Berechne die Umfänge u 1 und u 2 der beiden Dreiecke und zeige, dass diese Umfänge im selben Verhältnis stehen wie die Seitenlängen! u 1 = a 1 + b 1 + c 1 = mm, u 2 = a 2 + b 2 + c 2 = mm, u 2  u 1 =  =  c) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Dreiecke? Schreibe das Ergebnis mit möglichst einfachen natürlichen Zahlen auf! A 1  A 2 = a 1 2  a 2 2 =  =  a) Eileen sagt, sie könne mit Hilfe von Schattenlängen die Höhe eines Turmes berechnen. Der Turm wirft einen ca. 35m langen Schatten. Ihr 1,50m großer Bruder Tim wirft gleichzeitig einen 2,50m langen Schatten. Sie meint, das Verhältnis zwischen tatsächlicher Größe und Schattenlänge müsse für den Turm und für Tim gleich sein. Hat sie Recht? Welche geometrische Eigenschaft verwendet sie bei ihrem Modell? b) Berechne die Höhe des Turmes! h  35 = 1,50  2,50 w h ≈ m Der Turm ist ungefähr m hoch. c) Wenn eine 1,75m große Frau einen 1,05m langen Schatten wirft, wie lang muss dann zur selben Zeit der Schatten des rund 200m hohen Donauturmes sein? 1,75  1,05 =  w s ≈ m Der Schatten ist ca. m lang. a) Zeichne das Dreieck ABC mit a = 5,4 cm, b = 4,8 cm, c = 6,3 cm und vergrößere es dann im Verhältnis 3  4! Verwende als Streckzentrum den Eckpunkt A und verlängere zu- nächst die Seite c im Verhältnis 3  4 zur Seite c 1 ! b) Miss die Seiten des vergrößerten Dreiecks A 1 B 1 C 1 und zeige, dass das Streckverhältnis für jede der drei Seitenlängen stimmt! a 1 ≈ cm w a  a 1 = 5,4  =  b 1 ≈ cm w b  b 1 = 4,8  =  und zeige: c 1 ≈ cm w c  c 1 = 6,3  =  c) Miss in beiden Dreiecken die Höhe auf c bzw. c 1 ! h c ≈ cm, h c 1 ≈ cm w h c  h c 1 ≈  =  288 AD O I 289 AD O I 290 AD O I A c B 3 Längen- und Flächenbeziehungen bei ähnlichen Figuren (Körpern) 4 Anwendungen der Ähnlichkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv