Das ist Mathematik 3, Arbeitsheft

62 Satz des Pythagoras J Welche Beziehung besteht nach dem Satz des Pythagoras zwischen den Seitenlängen jedes Dreiecks! x y z p r q d b m h g f x 2 = q 2 = b 2 = h 2 = a) Konstruiere über der Strecke c = AB mit Hilfe des Satzes von Thales das rechtwinklige Dreieck ABC mit α = 53°, γ = 90°! b) Miss die drei Seitenlängen! a ≈ cm, b ≈ cm, c ≈ cm c) Zeige, dass (bis auf kleine Ab- weichungen durch Messungen bzw. Zeichnungen) die Beziehung a 2 + b 2 = c 2 stimmt: a 2 + b 2 = 2 + 2 = c 2 = a) Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 6,8 cm, b = 5,1 cm und c = 8,5 cm! b) Überprüfe mit dem TR, dass auf dieses Dreieck der Satz des Pythagoras anwendbar ist! 6,8 2 + 5,1 2 = + = 8,5 2 = c) Bis auf eventuelle Zeichen- oder Messungenauigkeiten muss daher gelten: γ = °. Miss in deiner Zeichnung nach! γ ≈ ° Die Zahlen 12, 35 und 37 bilden ein pythagoreisches Tripel, dh. es gilt 12 2 + 35 2 = 37 2 . a) Rechne nach und überprüfe! 12 2 + 35 2 = + = 37 2 = b) Überzeuge dich, dass auch die verdoppelten Zahlen ein pythagoreisches Tripel bilden! 24 2 + 2 = + = 2 = c) Gilt das auch für die verfünffachten Zahlen? 60² + 2 = + = 2 = d) Beweise nun, dass alle beliebigen Vielfachen von 12, 35 und 37 pythagoreische Tripel bilden! Schreibe dazu die Vielfachen zB als 12 · x, 35 · x und 37 · x, wobei x für jede beliebige natürliche Zahl ≠ 0 steht! Berechne dann: (12 · x) 2 + (35 · x) 2 = 144 · x² + = Zum Beweis berechne anschließend: (37 · x) 2 = . Vergleiche die beiden Ergebnisse! 246 AD O I A c B 247 AD O I 248 AD O I A c B 249 AD O I 1 Rechtwinkliges Dreieck – Satz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv