Das ist Mathematik 2, Arbeitsheft

3 Lösungen 3 Primzahlen (Seite 11) 46 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2) Längste Reihe: von 90 bis 96 3) 3 und 5, 11 und 13 , 29 und 31, 59 und 61 5 und 7, 17 und 19, 41 und 43, 71 und 73 47 127 ist eine Primzahl. 127 ist nicht teilbar durch 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Es genügt bis zur Primzahl 13 zu rechnen, weil 11 · 11 = 121 < 127, 13 · 13 = 169 aber bereits > 127 ist. 48 a) 36 = 2 · 2 · 3 · 3 b) 39 = 3 · 13 c) 47 = 47 d) 128 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 49 3780 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 50 2 · 2 · 2 · 2 · 2 – 1 = 32 – 1 = 31 51 Zwei- und mehrstellige Primzahlen können an der Einerstelle keine Ziffer 0, 2, 4, 5, 6 und 8 haben. Begründung: Wenn Zahlen 0, 2, 4, 6 oder 8 an der Einerstelle haben, sind sie durch 2 teilbar. Wenn 5 an der Einerstelle steht, sind sie durch 5 teilbar. 52 ZB: 4 = 2 + 2 16 = 13 + 3 26 = 19 + 7 6 = 3 + 3 18 = 13 + 5 28 = 23 + 5 8 = 5 + 3 20 = 13 + 7 30 = 23 + 7 10 = 7 + 3 22 = 17 + 5 32 = 29 + 3 12 = 7 + 5 24 = 17 + 7 34 = 29 + 5 14 = 7 + 7 53 Melanie: 16 Jahre, Florian: 11 Jahre 54 a) ggT(8, 12, 20) = 4, b) ggT(9, 27, 33) = 3, kgV(8, 12, 20) = 120 kgV(9, 27, 33) = 297 55 Kantenlängen: 1cm, 2cm, 3cm, 5cm, 6cm, 10cm, 15cm und 30cm 56 4dm 57 nach 12 Tagen 58 Um 8  04 Uhr kommen die Züge aus beiden Richtungen gleichzeitig an. 59 E 60 504 2 504 = 2·2·2·3·3·7; 252 2 (2·2 = 4, 2·3 = 6, 2·2·2 = 8, 3·3 = 9) 126 2 63 3 Dh.: 504 ist teilbar durch 2, 3, 4, 6, 7, 8 und 9. 21 3 7 7 Merkenswertes (Seite 13) A Teiler und Vielfache Die Zahl t ist Teiler der Zahl a, wenn a durch t ohne Rest teilbar ist. Ist die Zahl t ein Teiler der Zahl a, dann ist a ein Vielfaches der Zahl t. 1 und a nennt man unechte Teiler der Zahl a; die übrigen Teiler heißen echte Teiler von a. Der ggT zweier oder mehrerer Zahlen teilt nicht nur jede dieser Zahlen, sondern er ist unter den gemeinsamen Teilern der größte. Das kgV zweier oder mehrerer Zahlen ist nicht nur Vielfaches jeder dieser Zahlen, sondern es ist unter den gemeinsamen Vielfachen das kleinste. B Teilbarkeitsregeln Ist die Zahl t Teiler zweier Zahlen a und b, dann ist t auch Teiler der Summe a + b und der Differenz a – b dieser Zahlen. Multipliziert man das kgV und den ggT zweier Zahlen a und b, so erhält man das Produkt der Zahlen a und b. Teilt die Zahl t die Zahl a, dann teilt t auch jedes Vielfache dieser Zahl a. Ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, ist nur von der Einerstelle abhängig. Ob eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, ist nur von der Ziffernsumme abhängig. C Primzahlen Natürliche Zahlen ( > 1), die nur unechte Teiler haben, heißen Primzahlen. 1 ist keine Primzahl. Wenn eine Zahl auch echte Teiler hat, spricht man von einer zusammengesetzten Zahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Jede Zahl ist als Produkt von Primzahlen schreibbar und diese Primfaktorenzerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. B Brüche 1 Brüche und Bruchzahlen (Seite 14) 61 62 1 (6 cm) (4 cm) (3 cm) (2,4 cm) (2 cm) (1,5 cm) (1,2 cm) 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 8 1 10 63 a) α = 90° b) α = 60° c) α = 45° 64 7 __ 10 kg = 70 dag; 3 _ 4 kg = 75 dag; 3 _ 5 kg = 60 dag; 1 _ 2 kg = 50 dag 65 1 2 _ 3 = 5 _ 3 2 3 _ 4 = 11 __ 4 7 3 _ 8 = 59 __ 8 4 1 _ 5 = 21 __ 5 66 1) 7 __ 10 2) 3 __ 10 67 1) 18 Stücke 2) 20 Stücke 3) 15 Stücke 68 1 _ 2 = 0,5 2 _ 3 = 0, _ 6 3 _ 4 = 0,75 1 1 _ 4 = 1,25 3 _ 5 = 0,6 2 _ 6 = 0, _ 3 3 _ 8 = 0,375 7 __ 10 = 0,7 1 3 __ 10 = 1,3 4 __ 20 = 0,2 69 ZB: a) 1 _ 2 , 2 _ 4 , 3 _ 6 b) 14 __ 10 , 7 _ 5 , 28 __ 20 c) 4 _ 2 , 6 _ 3 , 8 _ 4 70 endlich periodisch 1 _ 2 = 0,5; 1 _ 4 = 0,25; 1 _ 5 = 0,2; 1 _ 8 = 0,125; 1 __ 10 = 0,1 1 _ 3 = 0, _ 3; 1 _ 7 = 0, _____ 142857; 1 _ 9 = 0, _ 1 71 0,3; 30 ___ 100 ; 0,30; 3 __ 10 ; 6 __ 20 72 0,35 = 35 ___ 100 3 _ 8 = 6 __ 16 5 _ 4 = 1,25 12 __ 9 = 4 _ 3 2 _ 5 = 0,4 1,30 = 1 3 __ 10 73 ZB: a) 1) 6 __ 12 , 6 _ 9 , 6 _ 8 2) 12 __ 24 , 16 __ 24 , 18 __ 24 3) 6 __ 12 , 8 __ 12 , 9 __ 12 b) 1) 21 __ 28 , 21 __ 35 , 21 __ 30 2) 150 ___ 200 , 120 ___ 200 , 140 ___ 200 3) 15 __ 20 , 12 __ 20 , 14 __ 20 c) 1) 20 __ 15 , 20 ___ 120 , 20 __ 48 2) 288 ___ 216 , 36 ___ 216 , 90 ___ 216 3) 16 __ 12 , 2 __ 12 , 5 __ 12 74 a) nicht kürzbar: 17 __ 28 ; 9 __ 16 , 7 __ 12 , 3 _ 5 , –, 5 _ 4 , 4 _ 3 b) alle kürzbar: 2 _ 3 , 2 _ 7 , 6 _ 5 , 19 __ 16 , 3 _ 2 , 3 c) nicht kürzbar: 28 __ 53 ; 3 __ 10 , 8 _ 5 , 2, –, 50 __ 49 , 5 _ 3 75 a) richtig: B , D ; falsch: A ( 12 __ 18 = 2 _ 3 ) , C ( 32 __ 36 = 8 _ 9 ) ; Lösungswort: KARL b) richtig: A , B ; falsch: C ( 5 _ 6 = 25 __ 30 ) , D ( 8 __ 12 = 24 __ 36 ) ; Lösungswort: ANNA 76 a) Orangenlimonade 3 _ 2 Liter Wasser, 3 _ 5 Liter Orangensaft, 1 _ 2 kg Zucker b) 6 _ 5 kg Erdbeeren, 3 _ 2 Liter Milch, 3 EL Joghurt, 3 _ 4 einer reifen Banane c) 2 Bananen, 3 Kiwi, 3 _ 4 kg Gurke, 3 __ 25 kg frischer Spinat 77 2 _ 3 = 6 _ 9 = 24 __ 36 12 __ 8 = 3 _ 2 = 18 __ 12 9 __ 15 = 3 _ 5 = 15 __ 25 10 __ 20 = 2 _ 4 = 20 __ 40 = 4 _ 8 Lösungswort: DACHSTUBE 19 6 24 9 15 10 3 20 12 18 21 5 14 17 1 2 13 4 22 23 11 16 8 7 5 8 8 18 1 2 6 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv