Das ist Mathematik 2, Arbeitsheft

12 Lösungen 214 Die Dreiecksseiten sind nicht gerade, sondern gekrümmt! 215 u = 282m, α = 114°, γ = 27° 5 Besondere Eigenschaften des Dreiecks (Seite 58) 216 a) U = (5,4 1 4,7) b) r ≈ 4,5cm c) S = (4,7 1 5,0) 217 a) I = (3,9 1 3,9) b) ρ ≈ 2,3cm c) H = (2,2 1 2,9) d) h a ≈ 5,8cm, h b ≈ 8,0cm, h c ≈ 7,2cm 218 a) 57mm š 285m b) h P ≈ 85mm š 425m, h Q ≈ 76mm š 380m, h R ≈ 90mm š 140m c) ρ ≈ 28mm š 140m P Q Schatz X Y Z f R Der Schatz liegt am Schnittpunkt von PQ mit der EULER-Geraden. K: __ SQ ≈ 14mm š 70m Abstand: Schatz – Q ≈ 14mm š 70m 6 Besondere Dreiecke (Seite 60) 219 Es muss der Umkreismittelpunkt konstruiert werden. V = (3 1 3,2) 220 a) a = b ≈ 65mm, β ≈ 57°, γ ≈ 66°, K: __ Hc ≈ 23mm b) a ≈ 67mm, c ≈ 107mm, α = β ≈ 37°, K: __ Sc ≈ 13mm A c c a H a b B B C C b A S 221 Wegen des vorgeschriebenen Umlaufsinns (Gegenuhrzeigersinn) gibt es jeweils nur genau eine Lösung. A A c c c b b a B C C a a B B A b C 222 223 a) Katheten: x, y b) Katheten: l, m c) Katheten: p, q Hypotenuse: z Hypotenuse: k Hypotenuse: r 7 Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks (Seite 61) 224 a) a ≈ 4,6cm, α ≈ 38°, β ≈ 52°, A ≈ 13,3 cm 2 b) a ≈ 3,2cm, b ≈ 6,1cm, α ≈ 28°, A ≈ 9,8 cm 2 225 Das Boot muss sich auf einem Halbkreisbogen befinden, dessen Durch- messer Leuchtturm und Boje verbindet (Satz von Thales) 226 a) So weit steht die Leiter von der Mauer entfernt am Boden. b) 5m c) 4,5m 227 Richtige Umformungen sind: b = A · 2 ___ a und b = A __ a · 2 228 a) b = 40cm c) a = 35m 229 A = A 1 + A 2 = 27,28m 2 + 5,27m 2 = 32,55m 2 Merkenswertes (Seite 63) A Grundbegriffe und Bezeichnungen, Einteilung der Dreiecke, Winkel im Dreieck Die Bezeichnung der Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks erfolgt im Gegenuhr- zeigersinn. Die Seite a liegt dabei dem Eckpunkt A gegenüber usw. Nach Seiten- längen eingeteilt unterscheidet man allgemeine Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke und gleichseitige Dreiecke. Nach Winkeln eingeteilt unterscheidet man spitzwinklige Dreiecke, stumpfwinklige Dreiecke und rechtwinklige Dreiecke. In jedem Dreieck ist die Summe der drei Innenwinkel 180°. Die Summe der drei Außenwinkel beträgt immer 360°. B Dreieckskonstruktionen Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn nachfolgende Bestimmungsstücke gegeben sind. Wenn zwei Dreiecke in diesen Bestimmungsstücken überein- stimmen, dann sind sie kongruent (deckungsgleich): Die drei Seitenlängen (SSS- Satz) die Länge einer Seite und die Größen zweier Winkel (WSW-Satz), die Län- gen zweier Seiten und die Größe jenes Winkels, der von ihnen eingeschlossen wird (SWS-Satz) sowie die Längen zweier Seiten und die Größe jenes Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt (SsW-Satz) In jedem Dreieck schneiden einander: die Streckensymmetralen im Umkreismit- telpunkt U, die Winkelsymmetralen im Inkreismittelpunkt I, die Schwerlinien im Schwerpunkt S sowie die Höhen im Höhenschnittpunkt H. C Rechtwinklige Dreiecke Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen Katheten, die ihm gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die beiden ihr anliegenden Winkel ergänzen einander auf 90°, sie sind Komplemen- tärwinkel. Satz von Thales: Alle einem Kreis eingeschriebenen Dreiecke, bei denen eine Seite mit dem Durchmesser übereinstimmt, sind rechtwinklig. Lösungstext: *WAS *FÄLLT *DURCH *DAS *FENSTER, *OHNE *ES *ZU *ZERBRECHEN? *DAS *LICHT! I Vierecke und Vielecke 1 Quadrat und Rechteck 2 Raute und Parallelogramm (Seite 64) 230 A B C D a b a b M Diagonalen stehen normal aufeinander Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel u = 4a u = 2a + 2b Inkreis A = a · b A = a 2 Diagonalen halbieren einander Vier gleich lange Seiten Vier rechte Winkel Je zwei gleich lange Seiten Umkreis A B C D a a a a M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv