Das ist Mathematik 2, Arbeitsheft

11 Lösungen Merkenswertes (Seite 51) A Winkel Winkel können mit zwei Winkelschenkeln oder durch drei Punkte angegeben werden. α = ¼ cb oder α = ¼ BAC, β = ¼ ac oder β = ¼ CBA, γ = ¼ ba oder γ = ¼ ACB 1 (Winkel-)Grad (1°) ist der neunzigste Teil des rechten Winkels. Für spitze Winkel α gilt: 0° < α < 90°, für stumpfe Winkel: 90° < α < 180°, für erhabene Winkel: 180° < α < 360°. 1 (Winkel-)Grad = 60 (Winkel-)Minuten (1° = 60’) Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, nennt man Parallelwinkel. Zwei solche Winkel sind entweder gleich groß oder sie ergänzen einander auf 180°. Lösungswort: WINKELKONSTRUKTION B Koordinaten Die beiden Koordinatenachsen, die vom Punkt (0 1 0) ausgehen, sind Zahlen- strahlen Sie werden auch als x bzw. y-Achse bezeichnet und stehen aufeinander normal. Der Punkt O(0 1 0) heißt Ursprung des Koordinatensystems. Jeder Punkt im Koordinatensystem wird durch ein Zahlenpaar festgelegt. C Symmetrie Symmetrische Figuren werden durch eine Symmetrieachse in zwei deckungs- gleiche Teile geteilt. Zwei Punkte, die symmetrisch bezüglich einer Geraden g liegen, haben von dieser Geraden g denselben Abstand Ihre Verbindungsstrecke steht normal zur Geraden g. Die Streckensymmetrale s AB steht normal auf AB. Sie besteht aus genau jenen Punkten, die von den beiden Endpunkten der Strecke AB gleich weit entfernt sind. Die Winkelsymmetrale w α halbiert den Winkel α . Sie besteht aus genau jenen Punkten, die von den beiden Schenkeln des Winkels α denselben Abstand haben. Lösungswörter: MEILEN KILOMETER H Dreiecke 1 Grundbegriffe und Bezeichnungen (Seite 52) 195 a I A c B C b α β γ C II A c B a b α β γ III A c a B C b α β γ 2 Einteilung der Dreiecke (Seite 52) 196 spitzwinklig: II, rechtwinklig: III, stumpfwinklig: I 197 198 K: gleichseitiges Dreieck: a = b = c; gleichschenkliges Dreieck: a = b; allgemeines Dreieck: beliebig, a ≠ b ≠ c 199 a) A B C b) Geodreieck 200 A B C Bei einem gleichseitigem Dreieck haben alle Winkel 60°. Ein rechter Winkel hat aber 90°! 3 Winkel im Dreieck (Seite 53) 201 a) α = ¼ cb β = ¼ ac γ = ¼ ba b) α = ¼ BAC β = ¼ CBA γ = ¼ ACB 202 a) γ = 58° c) β = 19° e) α = 72 1 _ 4 ° b) β = 91,9° d) α = 66,6° f) β = 146 5 _ 6 ° 203 a) β = 41° c) α = 33,6° e) β = 17 3 _ 4 ° b) β = 88,9° d) α = 0,1° f) β = 64 3 _ 5 ° 204 36° 96° 132° 144° 48° 84° 116° 128° 64° 52° 116° 64° 205 Man kann sehen, dass δ + γ + ε zusammen 180° ergeben. Die Winkel δ und α bzw. ε und β sind jeweils gleich groß, weil sie Parallelwinkel sind. Daher muss auch die Summe α + β + γ immer 180° ergeben. 4 Dreieckskonstruktionen (Seite 54) 206 a) α ≈ 41°, β ≈ 82°, γ ≈ 57° b) α ≈ 40°, β ≈ 35°, γ ≈ 105° 207 a) b ≈ 7cm, c ≈ 10cm, α ≈ 49° b) a ≈ 7,3cm, b ≈ 6,4cm, γ ≈ 59° 208 130m = 130000mm; 130000mm  2000 = 65mm Zeichnung ¥ Wirklichkeit __ AP ≈ 65mm ¥ __ AP ≈ 130m __ BP ≈ 80mm ¥ __ BP ≈ 160m __ Ps ≈ 63mm ¥ __ Ps ≈ 126m 209 1. Lösung: c ≈ 6,8cm, α ≈ 70°, γ ≈ 63° 2. Lösung: c ≈ 3,0cm, α ≈ 110°, γ ≈ 23° 210 a) c ≈ 10,4cm, α ≈ 48°, β ≈ 35° b) b ≈ 7,9cm, α ≈ 59°, γ ≈ 53° 211 42m = 42000mm; 42000mm  500 = 84 mm Zeichnung: __ PQ ≈ 97mm ¥ Wirklichkeit: __ PQ ≈ 48,5 m 212 a) b ≈ 7,0cm, β ≈ 60°, γ ≈ 51° b) a ≈ 4,8cm, α ≈ 31°, β ≈ 47° 213 A ist nicht eindeutig konstruierbar, weil es keinen WWW-Satz gibt. Es entstehen ähnliche Dreiecke. B ist eindeutig konstruierbar. C ist nicht konstruierbar, weil die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist: 7 + 4 < 12. D ist nicht konstruierbar, weil die Winkelsumme kleiner als 180 ist. E ist nicht konstruierbar, weil die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist: 7 + 6 < 14. F ist eindeutig konstruierbar. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv °