Funktionen D3 98 3.4 Charakteristische Eigenschaften linearer Funktionen Konstante Änderung Maria fährt mit dem Zug in die Steiermark, um Äpfel zu kaufen. Für die Zugfahrt bezahlt sie 9€, für ein Kilogramm Äpfel zahlt sie 1,20€. Der Gesamtpreis P für die Einkaufstour ist eine lineare Funktion der Apfelmenge x (k = , d = ): P (x) = 1,20·x + 9. Um wie viel Euro erhöht sich der Preis P, wenn man statt x kg jeweils um 1 kg Äpfel mehr, also x + 1 kg Äpfel kauft? P (x + 1) = 1,20· (x + 1) + 9 = 1,20·x + 1,20 + 9 = 1,20·x + 9 + 1,20 = P (x) + 1,20 Man kann sehen: Der Preis erhöht sich um 1,20€. In diesem Beispiel ist 1,20 die Steigung k der linearen Funktion. Erhöht sich x um 1, ändert sich der Funktionswert um k. Dabei ist es nicht wichtig, von welchem Wert man diesen Schritt startet. k wird auch Änderungsrate genannt. Allgemeine Betrachtung der Steigung Die Gerade zu f: y = 1 _ 4 ·x soll konstruiert werden. Um die Gerade zu zeichnen, könnte man vom Ursprung ausgehend eine Einheit nach rechts gehen und dann k = 1 _ 4nach oben. Diese Methode ist aber wegen des kleinen k schwierig. Der Strahlensatz ermöglicht eine genauere Methode. k = k1 = 1 _ 4, k2 = 1 ___ = 2·k 1, k3 = ___ = ·k 1, k4 = ___ = 1 = ·k 1 Das bedeutet, man kann anstatt des kleinen Steigungsdreiecks auch ein n mal so großes zeichnen, es müssen nur die Längen in x- und y-Richtung mit dem gleichen Faktor n gestreckt werden. Merke: Bei k = 1 _ 4gehe um 4 nach rechts und 1 nach oben, um ein geeignetes Steigungsdreieck zu zeichnen! Dabei wird das Steigungsdreieck mit dem Faktor 4 gestreckt. Umgekehrt kann so die Steigung eines Graphen auch manchmal leichter abgelesen werden. x (Menge in kg) Preis P in € 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 1 +1,20 1 +1,20 1 +1,20 1 +1,20 Vergrößert man x um 1 (gleichgültig, von welchem Wert ausgehend), so ändert sich y um k. Bei einer steigenden Geraden (k > 0) erhöht sich y um k, bei einer fallenden Geraden (k < 0) verringert sich y um k. Konstante Änderung bei linearen Funktionen x y 1 0 1 2 3 4 k =k1 k2 k3 k4 Das Steigungsdreieck lässt sich mittels Strahlensatz vergrößern (und verkleinern). Dabei ist zu beachten, dass beide Katheten in x- und in y-Richtung mit dem gleichen Faktor gestreckt (gestaucht) werden. Es gilt: k = y-Änderung _______ x-Änderung Das Steigungsdreieck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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