D3 Lineare Funktionen 93 3.2 Die Steigung k Den Wert k (in y = k·x) nennt man Steigung der Geraden bzw. Steigung der (direkt) proportionalen Funktion. Diese kann positiv, null oder negativ sein. Ist k = 0, dann erhalten wir die x-Achse: y = 0 Aus den beiden Funktionsgraphen von y = 0,8 x bzw. y = ‒0,8 x erkennt man: f1y = 0,8 x P = (1 1 0) Q = (1 1 k1) k1 = 0,8 > 0 Die Gerade steigt. f2y = ‒0,8 x P = (1 1 0) Q = (1 1 k2) k2 = ‒0,8 < 0 Die Gerade fällt. Der Winkel α wird Steigungswinkel genannt. Bei steigenden Geraden hat er ein , bei fallenden Geraden ein Vorzeichen. Man spricht auch von „orientierten“ Winkeln. Hier gilt also: α 1 ≈ + 39° und α 2 ≈ ‒39° Steigt oder fällt die Funktion f: y = k·x? Gib an, bevor du die Funktion zeichnest! Intervall: ‒5 ≤ x ≤ 5 a) k = 0,7 b) k = 1,5 c) k = ‒0,7 d) k = 1 e) k = ‒2 1) Zeichne in einem Koordinatensystem den gegebenen Punkt und verbinde ihn mit dem Ursprung! Zeichne ein Steigungsdreieck und lies die Steigung der zugehörigen Geraden ab! 2) Gib die Funktionsgleichung der entsprechenden (direkt) proportionalen Funktion an! a) P = (2,5 1 5) b) Q = (0,5 1 1) c) R = (4 1 6) d) S = (1,6 1 0,4) Die Abbildung zeigt die Graphen zweier direkt proportionaler Funktionen f1 und f2. a) Lies aus den Graphen die Steigungen k1 und k2 der beiden Funktionen ab! Ermittle jeweils die Funktionsgleichung und gib den Steigungswinkel an! x y 0,5 -0,5 -1,5 -1 1 2 1,5 0 0,5 -0,5 -1 -1,5 1 1,5 2 f1 f2 k 1 = , k 2 = f 1: y = , f 2: y = α 1 = α 2 = b) Gib die Funktionsgleichungen jener direkt proportionalen Funktionen an, die im Vergleich zu f1 1) die doppelte, 2) die halbe Steigung besitzen! Wie ändert sich der Steigungswinkel? c) Zeichne in dein Heft die Graphen von f1 und f2 und zusätzlich die Graphen der direkt proportionalen Funktionen mit 1) k = 0,5, 2) k = ‒1! k1 1 α1 1 1 2 0 P x y Q k2 1 α2 1 -1 1 2 0 P x y Q Steigende Gerade: Fallende Gerade: x-Achse: k > 0 k < 0 k = 0 0° < α < 90° ‒90° < α < 0° α = 0° Die Zahl k heißt Steigung der Geraden. Der Winkel α zwischen der positiven x-Achse und der Geraden heißt Steigungswinkel. Das Dreieck OPQ mit O = (0 1 0), P = (1 1 0) und Q = (1 1 k) heißt Steigungsdreieck, es ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen 1 (waagrecht) und k (senkrecht). Die Steigung der Geraden 409 D A O I 410 D A O I 411 D A O I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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