Gleichungen, Ungleichungen und Formeln C 3 74 In der 3. Klasse haben wir gesehen, dass wir auch Formeln mit Hilfe von Äquivalenzumformungen umformen können. Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet a·x + b = c, (a ≠ 0). Wenn wir eine der Variablen, zB x explizit ausdrücken möchten, nehmen wir an, dass a, b und c konstante Zahlen sind. 1. Schritt: Subtraktion von b: a·x = c – b 2. Schritt: Dividieren durch a ➞ So erhalten wir die eindeutige Lösung x = c – b ___ a (a ≠ 0) Auch bei Formeln kann nach dem Umformen die Probe gemacht werden. Dazu setzt man den erhaltenen Ausdruck in die ursprüngliche Formel ein. Victoria und Alexander formen die Linsengleichung 1 _ f = 1 _ b + 1 _ gfür die Sammellinse (vgl. S. 68) um und multiplizieren dazu mit dem gemeinsamen Nenner f·b·g w b·g = f·g + f·b Da sie die Bildweite b wissen möchten, betrachten sie f und g als konstante Zahlen. • Alle Glieder mit b auf eine Seite bringen: b·g – f·b = f·g • Herausheben auf der linken Seite: b· (g – f) = f·g • Division durch (g – f)ergibt die Formel b = f·g ___ g – f . Alexander bemerkt, dass im Nenner steht, und somit g ≠ sein muss. Drücke in den Formeln zunächst jede der vorkommenden Variablen durch die anderen aus! Überprüfe die umgeformten Formeln durch selbst gewählte Zahlen! Gib an, wozu die jeweilige Formel dient! a) A = a·b c) A = a + c ___ 2 ·h e) V = a·b·c g) A = a·b ___ 2 b) A = a·h d) u = π d f) V = G·h h) s = v·t a) A = c·hc ___ 2 c) u = 2 π r e) V = G·h ___ 3 g) v = a·t b) A = e·f __ 2 d) b = π r α ___ 180 f) M = 2 π r h h) v = v0 + a t Löse die Gleichungen nach x! Führe die Probe durch! a) 6 x – 2p = 8p + x b) 3q – x = 3 x – 5q c) 2 x – 15 r = 7x + 5 r d) 2 s + 5 x = 3 x – 8 s interaktive Vorübung g5zz7d AH S. 25 Probe: Linke Seite: a· c – b ___ a + b = c – b + b = c Rechte Seite: c Durch Umformen von Formeln kann man eine Variable (zB x) durch die anderen Variablen ausdrücken. Dabei werden die anderen Variablen als konstante Zahlen betrachtet. Die Umformung erfolgt nach den bekannten Regeln für Äquivalenzumformungen. Umformen von Formeln 326 D A O I 327 D A O I 328 D A O I Beispiel 3 x – 2 a = 8 a – 2 x ! +2a ! + 2 x 5 x = 10 a ! 5 x = 2 a Probe: Linke Seite: 3 (2 a) – 2 a = 6 a – 2 a = 4 a Rechte Seite: 8 a – 2 (2 a) = 8 a – 4 a = 4 a 3 Formeln Unbekannte a·x + b = c Konstante Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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