Gleichungen, Ungleichungen und Formeln C 2 72 2.2 Lösen von Ungleichungen Da bei vielen Ungleichungen mehrere Zahlen „richtig“ sind, fasst man diese in der so genannten Lösungsmenge L zusammen. Zum Beispiel: x – 3 > 3 x + 5 ! ‒x ‒3 > 2 x + 5 ! ‒5 ‒8 > 2 x !2 ‒4 > x L = {x * R 1 x < ‒4} oder x * (‒∞, ‒4) ‒ 1 _ 2x + 2 ≤ 3 ! ‒2 ‒ 1 _ 2x ≤ 1 !· (‒2) x ≥ ‒2 L = {x * R 1 x ≥ ‒2} oder x * [‒2; ∞) Setzt man eine beliebige Zahl der Lösungsmenge in die Ungleichung ein, muss sich eine wahre Aussage ergeben. Zahlen, die nicht zur Lösungsmenge gehören, führen zu einer falschen Aussage. Test: ‒5 * L: ‒5 – 3 > 3· (‒5 ) + 5 ‒8 > – 15 + 5 = ‒10 w. A. ‒2 + L: ‒2 – 3 > 3· (‒2 ) + 5 ‒5 > ‒6 + 5 = ‒1 f. A. Test: 1 * L: ‒ 1 _ 2 ·1 + 2 ≤ 3 1,5 ≤ 3 w. A. ‒4 + L: – 1 _ 2 · (‒4 ) + 2 ≤ 3 4 ≤ 3 f. A. Es kann vorkommen, dass die Lösungsmenge einer Ungleichung die gesamte Zahlenmenge ℝ oder die leere Menge { } ist. Zum Beispiel: z + 1 > z L = ℝ z > z + 1 L = { } Jede beliebige reelle Zahl ist Lösung der gegebenen Ungleichung. Es gibt keine reelle Zahl, die die gegebene Ungleichung erfüllt. Es gibt keine Lösung. Löse die Ungleichung und gib die Lösungsmenge an! a) ‒5 x ≤ 20 c) ‒ z _ 3 ≥ ‒8 e) ‒5b – 3b ≥ ‒16 g) 5 _ 6v – v < 2 1 _ 3 b) ‒7y > ‒28 d) ‒ u _ 4 < 2 f) 5 a – 7a ≤ ‒2 h) ‒ w __ 5 – w > 6 Stelle richtige (äquivalente) Ungleichungen auf, indem du 1) auf beiden Seiten + 7 bzw. ‒8 addierst, 2) von beiden Seiten + 5 bzw. ‒6 subtrahierst, 3) beide Seiten mit + 6 bzw. ‒3 multiplizierst, 4) beide Seiten durch + 2 bzw. ‒1 dividierst! a) 3 < 10 b) 5 > 0 c) + 2 > ‒2 d) ‒8 < ‒6 e) 0 > ‒5 1) Markiere auf einer geeigneten Zahlengeraden die Zahlen ‒2 und +3! Stelle die dazugehörige Ungleichung auf: ‒2 + 3 2) Multipliziere die Zahlen mit ‒2 und zeichne diese Zahlen ein! Stelle auch hier die Ungleichung auf! 3) Zeige anhand deiner Zeichnung, warum sich das Ungleichheitszeichen beim Multiplizieren mit negativen Zahlen umdrehen muss! Addieren und Subtrahieren sind Äquivalenzumformungen, denn für alle c * R gilt: Wenn a < b, dann ist a + c < b + c und a – c < b – c. Multiplizieren und Dividieren mit positiven Zahlen sind Äquivalenzumformungen, denn für alle c * R + gilt: Wenn a < b, dann ist a·c < b·c und a _ c < b _ c . Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen sind ebenfalls Äquivalenzumformungen. Allerdings muss das Ungleichheitszeichen „umgedreht“ werden, denn für alle c * R – gilt: Wenn a < b, dann ist a·c > b·c und a _ c > b _ c. Äquivalenzumformungen für Ungleichungen –3 –4 –5 –6 –7 –8 –3 –2 –1 0 1 2 314 D A O I 315 D A O I 316 D A O I Arbeitsblatt nj66wj Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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