C 2 Ungleichungen 71 Hannes gibt gerne mit seinen sportlichen Leistungen an. Auf dem Sportplatz sagt er zu Peter: „Selbst wenn du doppelt so weit springen würdest, wäre mein Weitsprungergebnis von 4,5m noch besser als deines!“ Wenn wir annehmen, dass x die Sprungweite von Peter ist, dann lässt sich die Aussage von Hannes mit einer Ungleichung darstellen: < 4,5. Wie weit könnte Peter demnach gesprungen sein? Steht zwischen zwei Termen eines der Zeichen „<“, „>“, „ ≤ “, „≥“, „≠“, so spricht man von einer Ungleichung. Zum Beispiel 4 < 7; 3 z ≥ 0; 5 x + 2 > 7; 2 r – 3 s ≠ 5… 2.1 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen Wir untersuchen dies an der wahren Behauptung 2 < 4: Addition und Subtraktion Auf beiden Seiten wird dieselbe reelle Zahl addiert bzw. subtrahiert. 2 < 4 ! + 3 2 < 4 ! ‒5 5 < 7 richtig ‒3 < ‒1 richtig Begründung: Eine Addition + c bzw. eine Subtraktion – c führt auf der Zahlengeraden immer zu einer Verschiebung um dasselbe Stück nach rechts bzw. links. Wenn a < b war, dann gilt auch nach der Addition bzw. Subtraktion a + c < b + c bzw. a – c < b – c. Addition und Subtraktion reeller Zahlen sind also Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen. Multiplikation und Division Beide Seiten werden mit einer positiven Zahl multipliziert bzw. dividiert. 2 < 4 !·3 6 < 12 richtig 2 < 4 !4 1 _ 2 < 1 richtig 6< 12 2<4 2 4 6 8 10 12 0 1 0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4 < 1 1 2 2<4 Beide Seiten werden mit einer negativen Zahl multipliziert bzw. dividiert. 2 < 4 !· (‒3) –6 < –12 falsch; ‒6 > ‒12 richtig 2 < 4 ! (‒4) ‒ 1 _ 2 < ‒1 falsch; ‒ 1 _ 2 > ‒1 richtig –8 –6 –4 –2 0 –10 –12 2 4 richtig: –6> –12 2<4 0 –1 4 3 2 1 richtig: > –1 2<4 –1 2 Am einfachsten wird das bei der Multiplikation mit (‒1) klar: a < b É – a > – b Begründe mit eigenen Worten! interaktive Vorübung w8cb9t AH S. 24 a b a < b a a+c a+c <b+c b +c b+c +c a a–c a–c <b–c b –c b–c –c 2 Ungleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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