Gleichungen, Ungleichungen und Formeln C1 68 1.2 Bruchgleichungen Im Physikunterricht arbeiten Victoria und Alexander mit einer Sammellinse, deren Brennweite f = 10 cm ist. Sie untersuchen, in welcher Entfernung b ein Gegenstand abgebildet wird, der sich g = 15 cm vor der Linse befindet. Dabei haben sie folgende Formel kennengelernt: 1 _ f = 1 _ g+ 1 _ b. Victoria weiß: „f, g und b dürfen nicht sein!“ Wie bei den Bruchtermen gibt es bei Bruchgleichungen Werte, die nicht in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Diese Zahlen können keine Lösung der Bruchgleichung sein! Wie formt man Gleichungen mit Bruchtermen um? Nachdem man jene Werte ausgeschlossen hat, für die der Nenner null ist, multipliziert man die Gleichungen mit dem „kleinsten“ gemeinsamen Nenner (dies kann auch schrittweise geschehen): Beispiel 1 1 __ 10 = 1 __ 15 + 1 _ b !· (30b) (b ≠ 0) 30b ___ 10 = 30b ___ 15 + 30b ___ b 3b = 2b + 30 Beispiel 2 4 a – 3 _____ 3 (a – 3) = a + 2 ___ a – 3 – 6 – 3 a _____ 2 (a – 3) ! ·6 (a – 3) (a ≠ 3) 6 (a – 3) (4 a – 3) _________ 3 (a – 3) = 6 (a – 3) (a + 2) ________ a – 3 – 6 (a – 3) (6 – 3 a) _________ 2 (a – 3) 2 (4 a – 3) = 6 (a + 2) – 3 (6 – 3 a) So erhält man eine Gleichung ohne Brüche, die wir lösen können: 3b = 2b + 30 ! ‒2b b = 30 Das Bild des Gegenstandes befindet sich 30 cm hinter der Linse. 8 a – 6 = 6 a + 12 – 18 + 9 a 8 a – 6 = 15 a – 6 ! – 8 a – 6 = 7a – 6 ! + 6 0 = 7a w a = 0 a = 0 ist tatsächlich die Lösung. Hätte sich zum Schluss a = 3 ergeben, hätte die Gleichung wegen a ≠ 3 keine Lösung. Probe: LS: 1 __ 10 RS: 1 __ 15 + 1 __ 30 = 2 __ 30 + 1 __ 30 = 3 __ 30 = 1 __ 10 LS: 4·0 – 3 _____ 3 (0 – 3) = ‒3 __ ‒9 = 1 _ 3 RS: 0 + 2 ___ 0 – 3 – 6 – 3·0 _____ 2 (0 – 3) = 2 __ ‒3 – 6 __ ‒6 = ‒ 2 _ 3 + 1 = 1 _ 3 Ermittle die Unbekannte! Welcher Wert muss ausgeschlossen werden? Vergiss nicht auf die Probe! a) 12 __ x = 3 b) 6 _ x = 2 _ 3 c) 9 _ x = 3 _ 5 d) 3 __ 2 x = 1 _ 2 Gegenstandsweite g Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl G B Brennweite f Bildweite b 3 2 2 3 Bei Bruchgleichungen müssen alle Werte als Lösung ausgeschlossen werden, die zu einer Division durch Null führen. Im ersten Schritt wird die Bruchgleichung mit dem „kleinsten“ gemeinsamen Nenner multipliziert, um eine Gleichung ohne Brüche zu erhalten. Anschließend wird die Gleichung gelöst. Im letzten Schritt wird überprüft, ob die erhaltene Lösung nicht vorher ausgeschlossen wurde. Bruchgleichungen 299 D A O I Arbeitsblatt Plus wa9n48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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