Gleichungen, Ungleichungen und Formeln C1 62 1.1 Lineare Gleichungen mit einer Variabeln In einem Bus sitzen z Passagiere. An der nächsten Haltestelle steigen noch acht Personen zu, damit hat sich die Anzahl der Fahrgäste verdreifacht. Dieser Sachverhalt lässt sich in Form der Gleichung z + = schreiben. Wie viele Fahrgäste befanden sich ursprünglich im Bus? Fahrgäste. Gleichungen wie zB z + 8 = 3 z oder 5 x – 3 = 2 heißen lineare Gleichungen mit einer Variblen. Wir sprechen von einer linearen Gleichung, wenn die Variable „ohne Hochzahl“ auftritt. Bemerkung: „Ohne Hochzahl“ ist gleichbedeutend mit der Hochzahl 1, da x 1 = x ist. Wenn wir eine solche Gleichung lösen, dann suchen wir für die Unbekannte jene Zahl, die die Gleichung erfüllt. Setzen wir diesen Wert für die Unbekannte in die Gleichung ein, ergibt sich eine Aussage. Dieses Einsetzen ist gleichbedeutend mit der Probe. Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die Lösungen haben. Um eine Gleichung zu lösen, formt man sie mit Hilfe von Äquivalenzumformungen um, bis man die Lösungen ablesen kann. Dabei sind folgende Umformungen möglich: Mögliche Lösungsfälle Die Gleichung im obigen Beispiel hat eine eindeutige Lösung. Es kommt aber auch vor, dass eine Gleichung unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat. Zum Beispiel: Gleichung mit unendlich vielen Lösungen Gleichung ohne Lösung 4 y + 5 – y = 6 + 3 y – 1 3 y + 5 = 3 y + 5 3 y = 3 y 4 z + 5 – z = 6 + 3 z – 2 3 z + 5 = 3 z + 4 3 z + 1 = 3 z Jede beliebige Zahl ist Lösung der gegebenen Gleichung. Lösungsmenge: L = R Es gibt keine Zahl, die die gegebene Gleichung erfüllt. Lösungsmenge: L = { } (leere Menge) Die Zahl, mit der die Unbekannte multiplizert wird, heißt Koeffizient zB 5 in 5 x – 3 = 2. Ermittle die Lösung der Gleichung und führe die Probe durch! a) ‒8 a + 7 = 2 a – 3 b) 5 – 3 x = 17 c) 3,2 x + 1,8 = 14,6 d) 1 _ 3z + 7 _ 6= 3 z __ 2 interaktive Vorübung r7j672 AH S. 22 Äquivalente Gleichungen entstehen, wenn man auf beiden Seiten 1) dieselbe Zahl addiert bzw. subtrahiert, 2) mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert, 3) durch dieselbe Zahl (≠ 0) dividiert, 4) dasselbe Vielfache der Unbekannten addiert bzw. subtrahiert. Auch das Anwenden des Vertauschungsgesetzes, des Verbindungsgesetzes und des Verteilungsgesetzes (Auflösen von Klammern usw.) sind Äquivalenzumformungen. Äquivalenzumformungen 259 D A O I 1 Gleichungen Arbeitsblatt i65ku3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=