C 61 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Eigenschaften und Lösen linearer Gleichungen mit einer Unbekannten • Lösen von Gleichungen aus Textaufgaben • Äquivalenzumformungen und Lösen von Ungleichungen • Aufstellen, Umformen und Anwenden von Formeln Der Wettstreit um das Lösen kubischer Gleichungen Allesamt waren es Italiener, die sich im 16. Jh. mit Gleichungen dritten Grades beschäftigten und Lösungen kubischer Gleichungen mit einer Unbekannten a x3 + b x2 + c x + d = 0 (a ≠ 0) fanden. Um ihre geistige Überlegenheit zu demonstrieren, führten sie untereinander Wettkämpfe aus. Scipione del Ferro (1465–1522) schaffte es, die Gleichung a x3 + b x + c = 0 zu lösen, hielt den Lösungsweg aber geheim. Sein Schüler Antonio Fior (1506–?) legte diese Aufgabe Nicolò Fontana, genannt Tartaglia, vor, der die Gleichung auch lösen könnte. Umgekehrt konnte Fior die von Tartaglia gestellte Gleichung a x3 + b x2 + c = 0 nicht lösen. Tartaglia war also der Sieger. Girolamo Cardano gelang es in der Folge, die allgemeine Gleichung a x3 + b x2 + c x + d = 0 auf die von Ferro und Tartaglia gelösten Gleichungen zurückzuführen und zu lösen. Die bahnbrechenden Leistungen hatten Ferro und Tartaglia erbracht, die Formeln werden aber heute „Cardano-Formeln“ genannt. Cardano hatte aber die weiterführende Idee, dass auch so genannte „komplexe“ Zahlen als Lösungen von Gleichungen in Frage kommen. Der „Fundamentalsatz der Algebra“ Cardanos Vorahnung wurde im 19. Jh. durch die Erkenntnis des genialen Mathematikers Carl Friedrich Gauß (1777–1855) bestätigt. Er bewies, dass bei Polynomen mit einer Unbekannten jede Gleichung so viele Lösungen hat, wie ihr Grad beträgt. Jede lineare Gleichung hat eine Lösung, jede quadratische Gleichung hat zwei Lösungen usw. („Fundamentalsatz der Algebra“). Girolamo Cardano (1501–1576) Tartaglia (1499–1557) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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